曲线拟合（多项式标准椭圆方程）最小二乘法

Posted 2020-10-12 StefaScut

已知数据点$p_i(x_i, y_i), i = 1, 2, ..., n$，求近似曲线$g(x, y)$， 使得近似曲线与$f(x, y)$的偏差最小。（为了使计算简单，以$f(x, y)-g(x, y)$的平方和最小作为目标函数。）

多项式拟合

设待拟合多项式为：$y = g(x)=a_0+{a_1}x^1+{a_2}x^2+...+{a_k}x^k$，那么数据集中各点到拟合曲线对应点的偏差平方和为：

$R^2 = \\sum_{i=1}^{n}[y_i - (a_0+{a_1}x_i^1+{a_2}x_i^2+...+{a_k}x_i^k)]^2$

将上式分别对$a_i$求偏导，并令其偏导数等于0，可得：

 对上式进行化简，可得：

 将上述方程组表示成矩阵的形式有：

 

将上式用矩阵和向量表示为：

$X{\\times}A = Y$

该式的最小二乘解为对多项式系数的估计。