P1005 矩阵取数游戏 (60)

Posted 2020-10-12 Herminone

DP

题目链接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1005

题目大意：

有一个n * m的矩阵，玩一个取数游戏，每次从1到n行取行首或行尾乘2的

取的次数次方为这次取数的得分，求得分最大值。

 

A:每次取每行最大不就行了？定义f[i][j]为取到第i次，到第j行的max。

 

    for(int i = 1;i <= m;++ i){
        for(int j = 1;j <= n;++ j){
            f[i][j] = maxx(f[i][j - 1] * a[j][s],f[i][j - 1] * a[j][e]);
        }
    }

 

B:还有个次数次方呢...

A:那每次取最小

B:你怎么知道后面一定会更优？

A:……那怎么办？

B:为什么不可以用你说的方法呢？

A:因为我这个方法不能保证这个状态下是最优的。

B:因为不论取左边还是取右边都会影响后面的状态。

B:这个问题熟不熟悉？

A:嗯，方格取数！！当时也是分开走会影响后面的状态！！

B:怎么处理的来着？

A:加维度！！

END.

这个题第一眼看上去感觉好简单，

然后发现思路明明是贪心啊QAQQ，

然后感觉好难，

但是不要紧，一点点分析，把大问题转化成小问题，

比如这个题，

要取m次，先看取1次？要取n行,先看取1行？要取1行，先看只有1个，2个，3个数的方法？

1个就不说了QAQQ，

如果有两个数，a b为一行，

如果取走b剩下a，就加上b * ...直接和另一种情况取min

如果有3个数 a b c，

可以取走a or c，剩下b，

即b之前的状态可能是a b 或是 b c,

这两种情况取走a或c都有可能成为答案，那就都记下来，

4个数 a b c d，一样的，

在更新剩下b c的状态的时候，

他之前的状态也有两种：a b c或者 b c d，

两种情况取走a或取走d也都可以成为答案，都记录，

咦？有没有发现a b c的情况我们之前明明已经更新过了？（取3个数的时候）

也就是说，b c在所在的位置，所组成的区间，我们已经更新过了？

可以记忆化，那一定可以dp，

那怎么设计状态呢？

要存一个当前取的次数，当前取到哪一行，还有？？

看上面上面上面！！不是已经知道b c更新过了么？

也就是说怎么存b c这段区间呢？

存一段区间可以存起点终点或者起点长度，

随便选一个好了，

设计状态：f[i][j][s][e]:第i次取，到第j行，s到e区间的答案

Codes:

 

    f[i][j][s][e] = maxx(f[i][j][s - 1][e] + a[j][s - 1] * (1 << i),f[i][j][s][e + 1] + a[j][e + 1] * (1 << i));

 

哇哦4维啊好长，有没有发现我在用 i 更新 i ?在用 j 更新 j ？

扔掉扔掉，i可以边输入边处理（这里就不写了）

这样状态定义可以是这样;

f[i][s][e]:到第i行，s到e区间的答案。

就是这样啦~

    f[i][s][e] = maxx(f[i][s - 1][e] + a[i][s - 1] * (1 << t),f[i][s][e + 1] + a[i][e + 1] * (1 << t));

(其中t是第t次取数，可以通过s和e来求)

然后最终答案很明显是每行答案之和啦~（当时我这里写错QAQQ忘了统计。。。）

Codes:

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<algorithm>
 5 #define ll long long
 6 using namespace std;
 7 const int N = 80 + 5;
 8 ll a[N][N],f[N][N][N],n,m;
 9 ll maxx(ll x,ll y){if(x > y) return x;return y;}
10 int main(){
11     scanf("%d%d",&n,&m);
12     for(int i = 1;i <= n;++ i){
13         for(int j = 1;j <= m;++ j){
14             scanf("%d",&a[i][j]);
15         }
16     }
17     for(int i = 1;i <= n;++ i){
18         for(int s = 1;s <= m;++ s){
19             for(int e = m;e >= s;-- e){
20                 int t = m - (e - s) - 1;
21                 f[i][s][e] = maxx(f[i][s - 1][e] + a[i][s - 1] * (1 << t),f[i][s][e + 1] + a[i][e + 1] * (1 << t));
22             }
23         }
24     }
25     ll ans = 0;
26     for(int i = 1;i <= n;++ i){
27         ll ans1 = 0;
28         for(int j = 1;j <= m;++ j)
29             ans1 = maxx(ans1,f[i][j][j] + a[i][j] * (1 << m));
30         ans += ans1;
31     }
32     cout << ans << ‘\n‘;
33     return 0;
34 }

未完待续~