洛谷 P1028 数的计算递推

Posted 2020-10-12 Angel_Kitty

P1028 数的计算

题目描述

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数n):

先输入一个自然数n(n<=1000),然后对此自然数按照如下方法进行处理:

1.不作任何处理;

2.在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半;

3.加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止.

输入输出格式

输入格式：

一个自然数n(n<=1000)

输出格式：

一个整数，表示具有该性质数的个数。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

6

输出样例#1： 复制

6

说明

满足条件的数为

6，16，26，126，36，136

题目链接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1028

分析：

就是比如一个数6，然后可以添加一个比6/2小的数（题目是左边，为了好理解就直接添加），然后可以再添加一个比6/2/2小的数，直到0为止。比如一个数7的其中一段递归：

• 比7/2小的数其中有一个3，新数就可以是73；

• 比3/2小的数只有一个1，于是新数就是731。

再举个例，12：

• 比12/2小的数其中有一个6，新数就可以是126；

• 比6/2小的数中有3、2，新数就可以是1263或1262；

• 比3小的有1，比2小的也是1，新书就是12631或12621。

这么解释大家应该都看懂了吧。

在打代码之前，我们不妨手动模拟一下

n=0,n=1时，答案显然是1
n=2, ans=2;    n=3,ans=2
n=4,ans=4;    n=5,ans=4
n=6,ans=6;    n=7,ans=6

相信大家也发现了，2n与2n+1(n为非负整数)的答案是一样的 这就是第一个规律

然后我们以n=8为例，手动模拟一下

一共有10组解

8 1 8 2 8 3 8 4 8

1 2 8 1 3 8 1 4 8 2 4 8

1 2 4 8

我打出的东西很像一棵搜索树。。。

当我们把8和8下面的左三棵子树放在一起（即8和下面三列），并将所有的8都改成7，我们能发现，我们得到了n=7时的所有解；

我们再把最右端的子树（即剩下的部分）中的所有8删去，我们得到了n=4时的所有解

就这样，我们可以得到一个递推式，

    f(n)=f(n-1)                //7=8-1

        +f(n/2)                //4=8/2

再结合之前发现的规律

就能得到：

n%2==0时
    f(n)=f(n-1)+f(n/2)
n%2==1时
    f(n)=f(n-1)
然后问题就迎刃而解啦

设f[i]为初始值为i时的满足条件总数，可得f[i]=f[1]+f[2]+f[3]+...+f[i/2];容易想到f[1]=1;

因为f[i]=f[1]+f[2]+f[3]+...+f[i/2] 所以当i为奇数时f[i]=f[i-1],当i为偶数时f[i]=f[i-1]+f[i/2];

然后我们可以手动AC了！

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int f[1001];
 4 int main()
 5 {
 6     int n;
 7     cin>>n;
 8     f[1]=1;
 9     for(int i=2;i<=n;i++)
10     {
11             f[i]=f[i-1];
12             if(i%2==0)
13                 f[i]+=f[i/2];
14     }
15     cout<<f[n];
16     return 0;
17 }