微分学习

Posted 2020-10-12 AlgebraMaster

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了微分学习相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1,曲线y = sqrt(x) 和点(3/2,0) 最近距离为多少

设最近点为(x,y)

则D = d^2 = (x-3/2)^2 + (y-0)^2

所以D = (x-3/2)^2 + [sqrt(x)-0]^2 因为y = sqrt(x)

所以D = (x-3/2)^2 + x = x^2 - 2x + 9/4

D\' = 2x-2 D\' = 0 时: x = 1

D\'\' = 2 图像为凹向上,则D有最小值。所以x= 1，距离必须是最小值

x-1 带入 D= d^2 = 5/4 , 所以d = sqrt(5)/2

2,求线性化

f(x) = cos(x) 在PI/2 的线性化:

L = f(a) + f\'(x)(x-a)

f(PI/2) = 0

f\'(x) = -sin(x)

f\'(PI/2) = -1

L = 0 + -1(x-PI/2) = -x + PI/2

3,隐函数微分法:

求dy/dx y^2 = x;

两边求dy/dx , 把y = f(x) 当做x的可微函数处理

2y * dy/dx = 1

dy/dx = 1/2y

4,微分形势下的导数

xy^2 - 4x^3/2 - y = 0

求dy

求xy^2比较麻烦 ,要用乘法法则

d(x) * y^2 + d(y^2)x = y^2dx + 2xydy

所以原始的dy = y^2dx + 2xydy - 6x^(1/2) dx - dy =0

所以: dy/dx = [6x^(1/2) - y^2] / (2xy - 1)

微分利器：预估变化的量

5,微分估计变化

圆的半径r从a=10 增加到10.1(dr = 0.1),用dA 来估计面积A的增加。并且真正增加了多少。

微分法估计圆面积增加:

dA = (π * r^2) \' = 2 * π * r * dr = 2 * PI * 10 * 0.1 = 2 π

真正的面积增加:

ΔA = π(10.1)^2 + π(10)^2 = 2π + 0.01π [其中0.01π就是微分估计得误差]

6,微分变化求圆柱薄壳体积:

如图所示:中间红色半径为6,薄壳厚度为0.5,高度h = 30

求薄壳体积:

圆柱体积公式为A = π * r^2 * h

那么预估增加的体积公式为:dA = 2 π r * h * dr = 2 * π * 6 * 30 * 0.5 = 180 π

Newton-Raphson method(牛顿-拉佛森): 比如求x^5 = 10, 求x.

动机是例如x^2 - 2 = 0 = f(x) ,求x,我们可以手算,√2 = 2.0 ，利用python计算 : math.sqrt(2) = 1.41421 。这是一个方法。

如何用Newton method做。牛顿法就是把函数曲线的某点线性化公式。直接上附图:

用Python求一个x^2 - 2.0 = 0

把初始值x0 = 0.01, 让他迭代100次，也能计算出来

书中把初始值x0 = 1, 值迭代4次，就能迭代出来。

如果是计算机，我首选把初始值设为0.01,或者更小的，让他迭代去。谁特么知道初始值设置多少合适

关键更牛逼的知道x^2 = 2.0 时候 x肯定有正负值这一说。

如果将代码的初始x0从负值开始，一样会求出负根speculate_base_x0(-0.1,100) ，结果是-1.41421360012

import math

#f(x)  = x^2 - 2.0 = 0
#f\'(x) = 2x
#Newton:

def speculate_base_x0(x0,numIter):
    begin_value = x0
    for n in range(0,numIter,1):
        begin_value = begin_value - (math.pow(begin_value,2)-2) / (2*begin_value)

        # check if f(x) == 0 , so it\'s the right Answer
        if math.pow(begin_value,2) - 2.0 <= 0.000001:
            return begin_value
    return None


if __name__ == "__main__":
    print speculate_base_x0(0.01,100)

View Code

Houdini newton-method fracture:

python code:

node = hou.pwd()
geo = node.geometry()

# Add code to modify contents of geo.
# Use drop down menu to select examples.

# f(x) = z^6 - 1 = 0
# f\'(x) = 6z^5
import math
def Newton(z):
    for x in range(20):
        fx = z*z*z*z*z*z - 1
        dx = 6 * z*z*z*z*z
        next = z - fx / dx
        if abs(z*z*z*z*z) > 10e10:
            return None
        if abs((next*next*next*next*next*next) -1 ) < 0.00001:
            return z
        z = next
    return None
    
# getbounding box
bbox = geo.boundingBox()
bbox_min = bbox.minvec()
bbox_max = bbox.maxvec()


getPoints = geo.points()

for pt in getPoints:
    pos = pt.position()
    x = hou.hmath.fit(pos.x(),bbox_min.x(),bbox_max.x(),-1.0,1.0)
    y = hou.hmath.fit(pos.y(),bbox_min.y(),bbox_max.y(),-1.0,1.0)
    z = complex(x , y)
    root = Newton(z)
    if root:
        pt.setAttribValue("Cd",hou.Vector3( 1,0,0))