noip2013 火柴排队

Posted 2020-10-12

传送门：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1966

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为： ∑(ai-bi)^2

其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

 

输入格式

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

 

输出格式

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

 

样例君

输入1

4
2 3 1 4
3 2 1 4

输出1

1

输入2

4
1 3 4 2
1 7 2 4

输出2

2

说明

【输入输出样例说明1】

最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

【输入输出样例说明2】

最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

【数据范围】

对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；

对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；

对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ maxlongint（就是不会爆int）

 

蒟蒻吐槽

　　模拟考试的时候被锁在机房外了，这就告诉我们，迟到真是恶习！

　　我们可以发现，∑(ai-bi)^2可以变形成∑（ai^2+bi^2-2aibi），所以我们只需要求出aibi的最大值就可以使原式最小，那么这里就扩充一个小知识，对于两个数串数ai和bi，升序ai*升序bi>=乱序ai*乱序bi>=倒序ai* 倒序bi。

　　所以我们需要将ai和bi一一对应，将a和b都sort一下，这时如何将ai和bi已经对应了，但真实数列不是这样的啊。怎么办呢？在sort之前顺便记录它们原先在数列中的位置就可以了。然后现在我们的目的就是将原先的b数列变的和a数列一样了。可他们的值不一样啊，怎么办呢？离散化一下就ok了，因为我们不在意它们的真实大小，只在意相对大小。然后，当bi=x时，我们需要把bi换到x在ai中的位置。把x在ai中的位置记录为loc[x]，离散化后的b数列记录为d数列。那么就有d[x]=loc[d[x]]。这一步有点难理解，以样例2为例。

a：1 3 4 2 离散化后 计算出loc：1 4 3 2

b：1 7 2 4 离散化后 计算出d：1 4 2 3

比方说，我们希望d中的1到loc[1]=1处，希望d中的4到loc[4]=2处，d中的2到loc[2]=4处。那么此时由d[x]=loc[d[x]]得出d：1 3 4 2。此时的d就是b中的各个元素所处的位置，而我们希望将d变成有序的，所需要的步数就是d序列中的逆序对个数。

一定要%那个9999啥的，不然会80。

代码附上，写的很丑还见谅。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int xn=99999997;
const int N=100010;

struct node
{
    int num,id;
}a[N],b[N];
int d[N],c[N],loc[N];
long long ans;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}

bool cmp(node _,node __)
{
    if(_.num<__.num)return true;
    if(_.num==__.num&&_.id<__.id)return true;
    return false;
}

void merge(int l,int r)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    if(l<r)
    {        
        merge(l,mid);
        merge(mid+1,r);
    }
    else return;
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(d[i]<d[j]){c[k]=d[i];k++;i++;}
        else {c[k]=d[j];k++;j++;ans+=mid-i+1;ans%=xn;}
    }
    while(i<=mid)c[k++]=d[i++];
    while(j<=r)c[k++]=d[j++];
    for(int i=l;i<=r;i++)d[i]=c[i];
    return;
}

int main()
{
//    freopen("match.in","r",stdin);
//    freopen("match.out","w",stdout);
    int n;
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    a[i].num=read(),a[i].id=i;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    b[i].num=read(),b[i].id=i;
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    sort(b+1,b+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        loc[i]=a[i].id;        
    for(int i=1;i<=n;++i)
        d[b[i].id]=i;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        d[i]=loc[d[i]];
    merge(1,n);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}