寻找单模序列的顶点

Posted 2020-10-12

问题：

令A[1..n]是一个由n个数所组成的数组。序列A[1], A[2], … , A[n]被称为是单模的(unimodal)，当且仅当存在顶点序号1≤p≤n，使得数组的元素从A[1]、A[2]开始到A[p]单调增加，而从A[p]、A[p+1]开始到A[n]则单调下降。
对于一个给定的单模序列A[1], A[2], … , A[n]，请找出其顶点序号p。设计一个求解此问题的算法并分析其最坏时间复杂性。

算法设计：

1.最简单易懂无非就是顺序便利整个序列，判断是否为递减并结束遍历。

2.分治算法：

　　我们可以将序列分为两部分，其中我们发现序列的前一部分是单调递增，后一部分是单调递减。所以我们将序列从中间分为两部分（i=(1+n)/2），根据A[i-1]，A[i]，A[i+1]的值判断定点在哪一部分，然后进行递归调用。

伪代码：

find(int a,int b){
    int i=(a+b)/2;
    if((A[i]-A[i-1]>0)  && (A[i+1] -A[i]>0))
            find(i,b);
    else if((A[i]-A[i-1]<0)  && (A[i+1] -A[i]<0))
            find(a,i);
    else return i;

最坏时间复杂度：

　　算法的深度为logn，在最坏的情况下，则算法遍历到最下面一层，每层只需判断中点处的情况则总复杂度为0（log n）。