洛谷 2405 non天平

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了洛谷 2405 non天平相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目背景

non最近正在为自己的体重而苦恼,他想称量自己的体重。于是,他找来一个天平与许多砝码。

题目描述

砝码的重量均是n的幂次,n^1、n^2、n^3、n^4、n^5的……non想知道至少要多少个砝码才可以称出他的重量m。注意砝码可以放左边,也可以放右边。

输入输出格式

输入格式:

第一行一个正整数m,表示non的重量;

第二行一个正整数n,表示砝码重量幂次的底;

输出格式:

一个整数表示最少所需的砝码数。

输入输出样例

输入样例#1: 
99
10
输出样例#1: 
2

说明

【数据范围】

对于30%的数据点,m <= 2^63 - 1

对于100%的数据点,0 <= m <= 10^10000, 0 < n <= 10000

分析:对于本题的数据范围,势必要高精了。

首先说明白一点:天平使用原则:左物右码。

那么题目可以等效成这样:右边的质量-左边的质量=给出的质量,所以砝码就有了加减两个策略可以选择

我们先来看题目的样例:99

99的得出有两种大的方向:加策略 和 减策略

首先加策略的话,需要9*10+9*1 ->18个

其次减策略的话,需要1*100-1*1 ->2个

样例减策略要优于加策略。

原题目也就等价于这样一个等式

k0*10^0+k1*10^1+k2*10^2+k3*10^3=99 这里我们假设左边就三项把 方便研究

k的系数可正可负,正就是放在右边,负就是放在左边。

那么我们要求∑|k|最小,可以这样想: 我们先考虑最小的质量是1的砝码,我们要确定使用了几个1砝码,那么我们就要把个位的9补平,要么是10-1,需要一个; 要么是0+9,需要9个;

显然减一下好,而且减掉一个刚好。于是我们确定了上述方程的第一项系数k0= -1

那么方程就是这样:-1*10^0+k1*10^1+k2*10^2+k3*10^3=99

把第一项移到右边:k1*10^1+k2*10^2+k3*10^3=100

我们看到我们成功的把个位填平了,使得方程可以同除以10

那么就变成了k1*10^0+k2*10^1+k3*10^2=10

于是到这里我们看到了问题具有很强的 最优子结构性质。

而无后效性是显然的,我们确定了小法吗的个数后,右边的个位被填平,所以我们不在需要小法吗

于是问题就是一道DP问题。

而这个m是一个高精数,在说我们的n=10是很特殊的,对于其他的n我们 要进行很多的 m div n 和m mod n操作

于是我们整体的预处理一下,

把m进行n进制的分解

不断的把 计算m mod n这个余数,记录,再把m div n,把m除干净为止;

于是我们得到了n进制下的 每一位上的数字,对应于我们每一个数量级的砝码

对于每一位我们有两个策略,直接使用yu【i】这么多的砝码,或者用n-yu【i】这么多的砝码进上去,两种操作都可以使n进制下的个位变成0

于是我们发现他其实是0/1 DP 也就是说我们开一个数组f【0..m,0..1】,前一维意思是处理到n进制下的第i位,后一维意思是我们当前这一位的处理策略 0代表直接拿出yu【i】这么多的砝码,1代表我们把当前位补平,进到下一位去

数组元素存储处理完当前第i位需要的砝码数

于是状态转移方程:

f[i,0]:=min(f[i-1,0]+yu[i],f[i-1,1]+yu[i]+1);

f[i,1]:=min(f[i-1,0]+b-yu[i],f[i-1,1]+b-yu[i]-1);

写状态转移方程的时候仔细一点就不会错:使用f【i-1,1】的时候,我们当前位就+1

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
char cl[10005];
int head,ym[10005],m[10005],n,h[10005],laji[10005];
int ln,lm,tail,f[500005][2];
void deal()//转N进制。
{
 int i;
 while(1)
 {
      int u=0;
      tail=-1;
      int yu=0;
    for(i=0;i<lm;i++)
    {
          tail++;
        u=yu*10+m[i];
          h[tail]=u/n;
          yu=u%n;
    }
      head++;
      ym[head]=yu;
    for(i=0;i<lm;i++)
      if(h[i]!=0) break;
    for(int j=i;j<lm;j++)
      m[j-i]=h[j];
    lm-=i;
    if(lm<=ln) { 
                 int po=0;
                 for(i=0;i<lm;i++)
                    po=po*10+m[i];
                 head++;
                 ym[head]=po%n;
                 po=po/n;
                 head++;
                 ym[head]=po;
                 break;
               }
    }
}
int main()
{
   cin>>cl;
   lm=strlen(cl);
   cin>>n;
   if(n==1) cout<<cl;
   else 
   {
    for(int i=0;i<lm;i++)
      m[i]=cl[i]-0; 
    deal();
    int ans=0;
    f[0][1]=1;
    for(int i=1;i<head;i++)
     {
         f[i][0]=min(f[i-1][0]+ym[i],f[i-1][1]+ym[i]+1);
         f[i][1]=min(f[i-1][0]+n-ym[i],f[i-1][1]+n-ym[i]-1);
     }
    cout<<min(f[head-1][0],f[head-1][1]);
    }
    return 0;
}

 

以上是关于洛谷 2405 non天平的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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