P1578 奶牛浴场

Posted 2020-10-11 范仁义

P1578 奶牛浴场

 

题目描述

由于John建造了牛场围栏，激起了奶牛的愤怒，奶牛的产奶量急剧减少。为了讨好奶牛，John决定在牛场中建造一个大型浴场。但是John的奶牛有一个奇怪的习惯，每头奶牛都必须在牛场中的一个固定的位置产奶，而奶牛显然不能在浴场中产奶，于是，John希望所建造的浴场不覆盖这些产奶点。这回，他又要求助于Clevow了。你还能帮助Clevow吗？

John的牛场和规划的浴场都是矩形。浴场要完全位于牛场之内，并且浴场的轮廓要与牛场的轮廓平行或者重合。浴场不能覆盖任何产奶点，但是产奶点可以位于浴场的轮廓上。

Clevow当然希望浴场的面积尽可能大了，所以你的任务就是帮她计算浴场的最大面积。

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件的第一行包含两个整数L和W，分别表示牛场的长和宽。文件的第二行包含一个整数n，表示产奶点的数量。以下n行每行包含两个整数x和y，表示一个产奶点的坐标。所有产奶点都位于牛场内，即：0<=x<=L，0<=y<=W。

 

输出格式：

 

输出文件仅一行，包含一个整数S，表示浴场的最大面积。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

10 10
4
1 1
9 1
1 9
9 9

输出样例#1： 复制

80

说明

0<=n<=5000

1<=L,W<=30000

Winter Camp 2002

 

 

 

 

洛谷题解：

这个题目很出名，可以在百度搜索王知昆国家队dalao的论文，其中说的非常详细，但是可惜的是在他本人的代码中也有两个bug，我上面的两组数据他的代码也出现的错误。可能是由于本题数据较水，所以很多有bug的代码水过去了。

我来简单的说一下：

先枚举极大子矩形的左边界，然后从左到右依次扫描每一个障碍点，并不断修改可行的上下边界，从而枚举出所有以这个定点为左边界的极大子矩形。考虑如图2中的三个点，现在我们要确定所有以1号点为左边界的极大矩形。先将1号点右边的点按横坐标排序。然后按从左到右的顺序依次扫描1号点右边的点，同时记录下当前的可行的上下边界。

开始时令当前的上下边界分别为整个矩形的上下边界。然后开始扫描。第一次遇到2号点，以2号点作为右边界，结合当前的上下边界，就得到一个极大子矩形（如图3）。

同时，由于所求矩形不能包含2号点，且2号点在1号点的下方，所以需要修改当前的下边界，即以2号点的纵坐标作为新的下边界。第二次遇到3号点，这时以3号点的横坐标作为右边界又可以得到一个满足性质1的矩形（如图4）。

类似的，需要相应地修改上边界。以此类推，如果这个点是在当前点（确定左边界的点）上方，则修改上边界；如果在下方，则修改下边界；如果处在同一行，则可中止搜索（因为后面的矩形面积都是0了）。由于已经在障碍点集合中增加了整个矩形右上角和右下角的两个点，所以不会遗漏右边界与整个矩形的右边重合的极大子矩形（如图5）。

需要注意的是，如果扫描到的点不在当前的上下边界内，那么就不需要对这个点进行处理。

这样做是否将所有的极大子矩形都枚举过了呢？

可以发现，这样做只考虑到了左边界覆盖一个点的矩形，因此我们还需要枚举左边界与整个矩形的左边界重合的情况。这还可以分为两类情况。一种是左边界与整个举行的左边界重合，而右边界覆盖了一个障碍点的情况，对于这种情况，可以用类似的方法从右到左扫描每一个点作为右边界的情况。这就是上面第一个数据楼下二位错在哪里。

另一种是左右边界均与整个矩形的左右边界重合的情况，对于这类情况我们可以在预处理中完成：先将所有点按纵坐标排序，然后可以得到以相邻两个点的纵坐标为上下边界，左右边界与整个矩形的左右边界重合的矩形，显然这样的矩形也是极大子矩形，因此也需要被枚举到。这就是上面第二个数据楼下两位错在哪里。

对于开始预处理，需要人为添加0,0;0，l；w，0；l，w四个点，这时王知昆dalao错的第一个地方。

对于他其中的一个剪枝优化显然是不小心打错了。具体会在代码中说。

参考代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #define re register
 5 #define REP(i,a,b) for (re int i=(a);i<=(b);i++)
 6 #define DREP(i,a,b) for (re int i=(a);i>=(b);i--)
 7 using namespace std;
 8 const int N=5e3+7;
 9 struct Cow{
10     int x,y;
11     inline bool operator < (const Cow &rhs) const {
12         if (x!=rhs.x)return x<rhs.x;
13         return y<rhs.y;
14     }
15 }a[N];
16 int L,W,n;
17 inline bool cmp(Cow a,Cow b){
18     return a.y<b.y;
19 }
20 inline int read(){
21     re int x=0,f=1;char ch=getchar();
22     while (ch<\'0\' || ch>\'9\'){if (ch==\'-\')f=-1;ch=getchar();}
23     while (\'0\'<=ch && ch<=\'9\'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
24     return x*f;
25 }
26 int main(){
27     L=read(),W=read(),n=read();
28     REP(i,1,n)a[i].x=read(),a[i].y=read();
29     a[++n].x=0;a[n].y=0;
30     a[++n].x=L;a[n].y=0;
31     a[++n].x=0;a[n].y=W;
32     a[++n].x=L;a[n].y=W;
33     sort(a+1,a+n+1);
34     int res=0;
35     REP(i,1,n){
36         re int h=W,l=0,v=L-a[i].x;
37         REP(j,i+1,n)if (a[j].y<=h && a[j].y>=l){
38             if (v*(h-l)<=res)break;
39             res=max(res,(a[j].x-a[i].x)*(h-l));
40             if (a[j].y==a[i].y)break;
41             if (a[j].y>a[i].y)h=min(h,a[j].y);
42             else l=max(l,a[j].y);
43         }
44         h=W,l=0,v=a[i].x;//王知昆dalao在此处仍将v设为l-a[i].x，这显然不对，可以自己想一想。
45         DREP(j,i-1,1)
46             if (a[j].y<=h && a[j].y>=l){
47             if (v*(h-l)<=res)break;
48             res=max(res,(a[i].x-a[j].x)*(h-l));
49             if (a[i].y==a[j].y)break;
50             if (a[j].y>a[i].y)h=min(h,a[j].y);
51             else l=max(l,a[j].y);
52         }
53     }
54     sort(a+1,a+n+1,cmp);
55     REP(i,1,n-1)res=max(res,(a[i+1].y-a[i].y)*L);
56     printf("%d",res);
57     return 0;
58 }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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