codeforces24D损坏的机器人

Posted 2020-10-11 $mathit{AlphaINF}$

题目大意：有一只坏了的机器人站在一个n∗m的网格里，初始位置在(x,y)。现在每个单位时间内它会随机选左右下三个方向走，如果它随机的方向会走出网格就不会往这个方向走。当然这个机器人也可能原地停留一个单位时间。求机器人走到第n行的期望时间。

只能说这题出得太吼辣~

我们用f[i][j]表示从(i,j)这个点走到第n行所需要的期望时间。那么我们显然得到：

f[i][1]=(f[i][1]+f[i][2]+f[i+1][1])/3+1;

f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i][j]+f[i][j+1]+f[i+1][j])/4+1; j∈[2,m-1] 

f[i][m]=(f[i][m]+f[i][m-1]+f[i+1][m])/3+1;

如果对上述的方程进行simple的高斯消元，很明显是不行的.....

但还是要消一遍先~，得到:

f[i][1]=(3+f[i][2]+f[i+1][1])/2;

f[i][j]=(4+f[i][j+1]+f[i][j-1]+f[i+1][j])/3;

f[i][m]=(3+f[i][m-1]+f[i+1][m])/2;

不妨设f[i+1]是已知的，那么，我们对该式子做一些细微调整。

以f[i][1]举例 f[i][1] = (3+f[i][2]+f[i+1][1])/2 = (3+f[i+1][1])/3+1/2f[i][2]。

我们设(3+f[i+1][1])/3为A，1/2为B。

则f[i][2]= (4+f[i][3]+f[i][1]+f[i+1][j])/3 = (4+f[i][3]+A+B*f[i][2]+f[i+1][2])/3 

化简后得到 f[i][2]=(4+f[i][3]+A+f[i+1][2])/(3-B)。

与化简f[1]的方式相同，将f[i][2]化为A+Bf[i+3]，不难得到F[i][2]=(4+A+f[i+1][2])/(3-B) + 1/(3-B)*f[i][3]，即A’=（4+A+C）/(3-B)，B‘=1/(3-B)。 f[i][3...m-1]的推法与f[i][2]相同。（C为f[i+1][2])

下面考虑f[i][m]，在此之前，我们已经求得f[i][m-1]=A+B*f[i][m]。 通过前面的推论我们得知：f[i][m]=(3+f[i][m-1]+f[i+1][m])/2，代入后得到f[i][m]=(3+A+B*f[i][m]+f[i+1][m])/2。

化简后得到f[i][m]=(3+A+f[i+1][m])/(2-B)。f[i][m]的准确值终于被求出来了.....，由于先前的f[i][j]均推出了f[i][j]=A+B*f[i][j+1]，所以该行的所有f值将全部求出。

这一过程重复n-x+1次即可。时间复杂度为O((n-x+1)*m)。

本题有个小坑：当m=1时，上文描述的转移无效，此情况下转移为f[i][1]=f[i+1][1]+2。（我就是忘记加这个特判所以没有1A）

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #define M 1010
 5 using namespace std;
 6 double f[M][M]={0},a[M]={0},b[M]={0};
 7 
 8 int main(){
 9     int n,m,x,y; scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);
10     n=n-x+1; if(m==1) f[1][y]=(n-1)*2;
11     else
12     for(int i=n-1;i;i--){
13         memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b));
14         a[1]=(3+f[i+1][1])/2.; b[1]=1./2.;
15         for(int j=2;j<m;j++){
16             double c=f[i+1][j];
17             a[j]=(4.+a[j-1]+c)/(3-b[j-1]);
18             b[j]=1./(3-b[j-1]);
19         }
20         f[i][m]=(3.+a[m-1]+f[i+1][m])/(2.-b[m-1]);
21         for(int j=m-1;j;j--){
22             f[i][j]=a[j]+b[j]*f[i][j+1];
23         }
24     }
25     printf("%.10lf\n",f[1][y]);
26 }