质数筛法 nsqrt(n)/nloglog(n)/n

Posted 2020-10-11 lpl_bys

数论第一篇随笔，就讲一下质数筛法吧

质数，也称做素数，在数学中有着重要的地位，有很多问题与算法都与质数有关（比如给你的hash函数选择一个好的质数可以让你的RP++）。对质数的最基本操作，就是输出所有不大于n（n∈N*）的素数。

 

最简单的方法：首先逐个枚举从 2 ~ n 的数a，分别模 2 ~ sqrt(a)（即a的平方，想一下为什么只需要判到sqrt(a)），若余数为0，那么a不是质数。

实现代码：

 

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<math.h>
 3 int n;
 4 int main(){
 5     scanf("%d",&n);
 6     if(n<2){
 7         printf("0");
 8         return 0;
 9     }
10     for(int i=2;i<=n;i++){
11         bool f=true;
12         for(int j=2;j<=sqrt(i);j++)
13            if(i%j==0){
14                f=false;
15                break;
16            }
17         if(f) printf("%d ",i);
18     }
19     return 0;
20 }

朴素算法

以上朴素算法复杂度为O（nsqrt(n)）

 

既然叫做朴素算法，那肯定有效率比它高的算法，那就是筛法求质数

它是通过划掉n内每个已求出质数的所有倍数来实现，留下来的数就都是不大于n的质数

举个例子，我们要求不大于15的所有质数：                     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1不是质数，2是最小的质数，从2开始划掉2的倍数：             1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

轮到3，3没有被划掉，是质数，所以划掉3的倍数：              1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

然后依次是5、7、11、13，重复上面的步骤。

 

其实这种情况下在划掉所有3的倍数时就已经求出了所有不大于15的质数，即没有被划掉的数

 

实现代码：

 

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #define maxn 2333333
 4 int n;
 5 bool zs[maxn];
 6 int main(){
 7     memset(zs,0,sizeof(zs));
 8     scanf("%d",&n);
 9     zs[0]=zs[1]=1;
10     for(int i=2;i*i<=n;i++)//i<=sqrt(n) ===>  i*i<=n
11        if(!zs[i])
12            for(int j=i+i;j<=n;j+=i) 
13         zs[j]=1;
14     for(int i=2;i<=n;i++)
15        if(!zs[i]) 
16        printf("%d ",i);
17     return 0;
18 }

质数筛法

这种做法的算法复杂度为O（nloglog(n)）

 

那有没有比以上效率更高的做法呢，有的！

如果按以上方法做，会有计算冗余，比如60这个数，会被2，3，5各筛一次

所有就有了下面复杂度为O（n）的方法

实现代码：

 

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #define maxn 2333333
 4 bool zs[maxn];
 5 int n,prime[maxn],num;
 6 int main(){
 7     memset(zs,0,sizeof(zs));
 8     scanf("%d",&n);
 9     zs[0]=zs[1]=1;num=0;
10     for(int i=2;i<=n;i++){
11         if(!zs[i]){
12             prime[++num]=i;
13             printf("%d ",prime[num]);
14         }
15         for(int j=1;j<=num&&i*prime[j]<=n;j++){
16             zs[i*prime[j]]=1;
17             if(!(i%prime[j])) break;
18         }
19     }
20     return 0;
21 }

质数的线性筛

 

这种方法就叫质数的线性筛法

详细的以后再讲吧