维纳滤波

Posted 2020-10-11 告别年代

当系统中的有效信号和噪声都是随机过程，信号和噪声的频谱还可能重叠（比如有效信号是高斯-马尔可夫过程，噪声是白噪声），从频率去设计滤波器的方法就不再适用。

维纳滤波器可以在一些场合解决上述为题，其设计原则是均方误差（的期望）最小。

1. 简化形式

设输入信号为$x(t)+n(t)$，其中$n(t)$为噪声，系统冲击响应为$g(t)$，输出为$y(t)$。

将输入输出写成Laplace形式：

$Y(s)=G(s)[X(s)+N(s)]$         (1)

误差为有效信号与滤波器输出的差：

$e(t)=x(t)-y(t)$                     (2)

$E(s)=X(s)-Y(s)$                 (3)

(1)式代入(3)式：

$E(s)=X(s)-G(s)[X(s)+N(s)]=[1-G(s)]X(s)-G(s)N(s)$                  (4)

从上式可以看出，误差有两个来源：一是输入信号被传递函数“编辑”后与原始信号的差；二是系统处理后的噪声。

更进一步的说，误差第一项可看做$X(s)$通过系统$1-G(s)$，第二项可看做$N(s)$通过系统$G(s)$。

如果信号与噪声是不相关的，均方误差就是上述两个误差来源的各自有效值的和。这样，均方误差就可以写为如下形式：

$E[e^2 ]=\frac{1}{2\pi j}\int_{-j\infty}^{+j\infty}[1-G(s)][1-G(-s)]S_x(s)ds+\frac{1}{2\pi j}\int_{-j\infty}^{+j\infty}G(s)G(-s)S_n(s)ds$        (5)

其中，$S_x(s)$是有效信号的功率谱，$S_n(s)$是噪声的功率谱。

在设计该种滤波器时，一般方法是使用带参的传递函数，于是(5)式也是一个带参的式子。针对具体问题，将均方误差对该参数求导，就可以得出满足最小均方误差条件的参数值。