[JLOI2015]装备购买

Posted 2020-10-11 Z-Y-Y-S

题目描述

脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 n 件装备，每件装备有 m 个属性，用向量zi(aj ,.....,am) 表示 (1 <= i <= n; 1 <= j <= m)，每个装备需要花费 ci，现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。

对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果），那么这件装备就没有买的 必要了。严格的定义是，如果脸哥买了 zi1,.....zip这 p 件装备，那么对于任意待决定的 zh，不存在 b1,....,bp 使得 b1zi1 + ... + bpzip = zh（b 是实数），那么脸哥就会买 zh，否则 zh 对脸哥就是无用的了，自然不必购买。

举个例子,z1 =(1; 2; 3);z2 =(3; 4; 5);zh =(2; 3; 4)，b1 =1/2，b2 =1/2，就有 b1z1 + b2z2 = zh，那么如果脸哥买了 z1 和 z2 就不会再买 zh 了。脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数 n;m。接下来 n 行，每行 m 个数，其中第 i 行描述装备 i 的各项属性值。接下来一行 n 个数，其中 ci 表示购买第 i 件装备的花费。

输出格式：

一行两个数，第一个数表示能够购买的最多装备数量，第二个数表示在购买最多数量的装备的情况下的最小花费

输入输出样例

输入样例#1： 

3 3
1 2 3
3 4 5
2 3 4
1 1 2

输出样例#1： 

2 2

说明

如题目中描述，选择装备 1 装备 2，装备 1 装备 3，装备 2 装备 3 均可，但选择装备 1 和装备 2 的花费最小，为 2。

对于 100% 的数据, 1 <= n;m <= 500; 0 <= aj <= 1000。

线性相关

 

在向量空间 $V$ 的一组向量 $A$，如果存在不全为零的数 $k1,k2,···,km$ ，使得

 

$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}$+...+k_{m}a_{m}=b$

 

则称向量组A是线性相关的

所以我们考虑维护一个类似于异或线性基的东西：第$i$个线性基表示前$i-1$位都是$0$，第$i$位不是$0$的线性基。一个一个插入，贪心策略同[BJOI 2011]元素。

就是高斯消元，如果有解就说明线性相关

所以每一次插入都在维护高斯矩阵的上三角，判断当前属性是否可解

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 struct Object
 8 {
 9   double b[501];
10   int cost;
11 }a[501];
12 double eps=1e-5;
13 int n,m,A[501],cnt,ans;
14 bool cmp(Object a,Object b)
15 {
16   return a.cost<b.cost;
17 }
18 int main()
19 {int i,j,k;
20   cin>>n>>m;
21   for (i=1;i<=n;i++)
22     {
23       for (j=1;j<=m;j++)
24     scanf("%lf",&a[i].b[j]);
25     }
26   for (i=1;i<=n;i++)
27       scanf("%d",&a[i].cost);
28   sort(a+1,a+n+1,cmp);
29   for (i=1;i<=n;i++)
30     {
31       for (j=1;j<=m;j++)
32     if (fabs(a[i].b[j])>eps)
33       {
34         if (!A[j])
35           {
36         cnt++;
37         ans+=a[i].cost;
38         A[j]=i;
39         break;
40           }
41         else 
42           {
43         double p=a[i].b[j]/a[A[j]].b[j];
44         for (k=j;k<=m;k++)
45           a[i].b[k]-=a[A[j]].b[k]*p ;
46           }
47       }
48     }
49   cout<<cnt<<‘ ‘<<ans;
50 }