宽搜经典题之二——8数码难题+康托展开

Posted 2020-10-11

宽搜的定义在上次宽搜一中已讲，现在直接看跟本题有关的”康托展开“。

什么是”康托展开“？其实就是宽搜中实现其主要思想的一个工具——已经考察过的状态就不再考察。

解释：X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! ，其中a[i]为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。这就是康托展开。康托展开可用代码实现。

康托展开就是一种特殊的哈希函数。

　　把一个整数X展开成如下形式：

　　X=a[n]*n!+a[n-1]*(n-1)!+...+a[2]*2!+a[1]*1!

　　其中，a为整数，并且0<=a<i,i=1,2,..,n

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

　　代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

　　他们间的对应关系可由康托展开来找到。

　　如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：

　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个 
。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

　　再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以 
有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

 

是caioj上的题目。

 

1046: [视频]宽搜1（8数码问题）

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题目描述

【题目描述】

初始状态的步数就算1
【输入格式】
第一个3*3的矩阵是原始状态；
第二个3*3的矩阵是目标状态。
【输出格式】
输出移动所用最少的步数。
【样例1输入】
2 8 3
1 6 4
7 0 5
1 2 3
8 0 4
7 6 5
【样例1输出】
6
 
【样例2输入】
2 8 3
1 6 4
7 0 5
0 1 2
3 4 5
8 7 6
【样例2输出】
18

上代码：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<queue>

#include<cstring>

using namespace std;

const int fac[10]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};

const int dx[]={-1, 1, 0, 0};

const int dy[]={ 0, 0,-1, 1};

struct node{

    int a[3][3],x0,y0;

    int step;

    node():step(0){ }

};

node b,e;

queue<node> q;

bool f[400000];

  

void find0(node &x){

    for (int i=0;i<3;i++)

        for (int j=0;j<3;j++)

            if (x.a[i][j]==9){

                x.x0 = i;

                x.y0 = j;

                return;

            }

}

void init(){

    for (int i=0;i<3;i++)

        for (int j=0;j<3;j++){

            cin>>b.a[i][j];

            if (b.a[i][j]==0) b.a[i][j]=9;

        }           

    find0(b); b.step=1;

    for (int i=0;i<3;i++)

        for (int j=0;j<3;j++){

            cin>>e.a[i][j];

            if (e.a[i][j]==0) e.a[i][j]=9;

        }           

    find0(e);

    memset(f,0,sizeof(f));

}

int cantor(const node &x){

    int t=0,d=0;

    for (int i=0;i<3;i++)

        for (int j=0;j<3;j++){

            d = 0; int k,p;

            for (k=0;k<3;k++)

                for (p=0;p<3;p++)

                    if (k*3+p>i*3+j && x.a[i][j]>x.a[k][p])

                        d++;

            t += d*fac[8-(3*i+j)];               

        }

    return t+1;

}

bool issame(const node &x,const node &y){

  for (int i=0;i<3;i++)

      for (int j=0;j<3;j++)

          if (x.a[i][j]!=y.a[i][j])

              return false;

  return true;

}

  

int bfs(const node &b){

    q.push(b);

    f[cantor(b)] = true;

    node u,v;   

    while (!q.empty()){

        u = q.front();

        if (issame(u,e)){//(cantor(u)==cantor(e)){

            return u.step ;

        }

        q.pop();

        for (int i=0;i<4;i++){

            v = u;

            v.x0 += dx[i];

            v.y0 += dy[i];

            if (v.x0<0 || v.x0>=3 || v.y0<0 || v.y0>=3) continue;

            swap(v.a[v.x0][v.y0],v.a[u.x0][u.y0]);

            if (f[cantor(v)]) continue;

            v.step++;

            q.push(v);

            f[cantor(v)] = true;           

        }

    }

    return -1;

}

int main(){

    init();

    cout<<bfs(b)<<endl;

    return 0;

}

即将更新：宽搜经典题之三——魔板+康托展开（为什么宽搜又带康托展开？它的精髓在哪？且听下回分解^_^）