图论引导笔记 第九章 可平面性

Posted 2020-10-11 uangjianghui

9.1平面图

定义：

平面图（planar graph）：图G可以画在平面上使得任意两条边都不会交叉。当然此时可以是交叉的。

非平面图：不是平面的图称为非平面图。（好像是废话）

平图（plane graph）：一个平面图G此时成功画在平面上使得任意两条边都不交叉。

区域：一个平图将当前平面分割成的一些"连通片"（我更倾向于称为"部分"，指二位面）。

外区域：一个平图的区域中总有一个是无界的那个区域。

边界：某个区域R的关联子图

 

性质：

1. 一个割边总是恰好在一个区域的边界上（未必是外区域）。即：去掉割边不影响区域的个数。
2. 一个非割边的边一定位于两个边界的边界上。
3. 至少含有三条边的连通平图G，每个区域的边界至少含有3条边
4. 平面图的不同画法得到的平图具有相同的区域数

 

定理：

9.1 （Euler恒等式）连通平图G：阶为n，边为m，区域数为r。则n-m+r=2

    证明：如果G是一株数，显然m=n-1，r=1，n-m-r=n-(n-1)+1=2，符合欧拉恒等式。如果G不是一株树，反证，假设定理不成立，则存在一个含有最少边数的连通平图G不满足欧拉公式，此时对于任意的相同阶数的G‘（|G‘.E|=|G.E|-1），都满足欧拉公式。此时由于G不是数，故一定存在不是割边的边e，对于图G-e，欧拉公式成立(n-(m-1)+(r-1)=2)，则对于图G欧拉公式(n-m+1)也成立。

9.2 平面图G：阶数n≥3，边数为m。则有m≤3n-6（充要条件）

    证明：

推论9.3 每一个平面图含有一个度数不大于5的顶点

    证明：

9.4 完全图K₅是平面的