bzoj2962序列操作 线段树

Posted 2020-10-11 GXZlegend

题目描述

有一个长度为n的序列，有三个操作1.I a b c表示将[a,b]这一段区间的元素集体增加c，2.R a b表示将[a,b]区间内所有元素变成相反数，3.Q a b c表示询问[a,b]这一段区间中选择c（c<=20）个数相乘的所有方案的和mod 19940417的值。

输入

第一行两个数n，q表示序列长度和操作个数。
第二行n个非负整数，表示序列。
接下来q行每行输入一个操作I a b c或者 R a b或者Q a b c意义如题目描述。

输出

对于每个询问，输出选出c个数相乘的所有方案的和mod19940417的值。

样例输入

5 5
1 2 3 4 5
I 2 3 1
Q 2 4 2
R 1 5
I 1 3 -1
Q 1 5 1

样例输出

40

---

题解

线段树

很容易想到对线段树的每一个节点维护v[0...20]，表示从这段区间中选出c个数相乘的乘积之和（注意v[0]=1）。

然后在区间合并时对于每个c，枚举在左边的i个，在右边的就有c-i个，由于乘法具有分配率，因此直接相乘即可。

区间取相反数的话直接对于奇数个的取相反数，偶数个的不变即可。

区间加的推导过程十分复杂，这里放结论：$v‘[i]=\sum\limits_{j=0}^iC_{len-i+j}^j·v[i-j]·a^j$，其中len是区间长度。这个过程可以使用归纳法推出。

所以直接递推预处理组合数即可实现区间加。

注意一下双标记的处理：先处理相反数再处理加，取相反数时直接把加标记也取相反数。

时间复杂度$O(400n\log n)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 50010
#define mod 19940417
#define lson l , mid , x << 1
#define rson mid + 1 , r , x << 1 | 1
using namespace std;
typedef long long ll;
ll add[N << 2] , c[N][21];
int rev[N << 2];
char str[5];
struct data
{
    ll v[21] , si;
    data() {memset(v , 0 , sizeof(v)) , v[0] = si = 1;}
    ll &operator[](int a) {return v[a];}
    data operator+(data a)
    {
        data ans;
        int i , j;
        ans.si = si + a.si;
        for(i = 1 ; i <= 20 ; i ++ )
            for(j = 0 ; j <= i ; j ++ )
                ans[i] = (ans[i] + v[j] * a[i - j]) % mod;
        return ans;
    }
    data operator+(ll a)
    {
        data ans;
        int i , j;
        ll t;
        ans.si = si;
        for(i = 1 ; i <= 20 ; i ++ )
            for(t = 1 , j = 0 ; j <= i ; j ++ , t = t * a % mod)
                ans[i] = (ans[i] + v[i - j] * t % mod * c[si - i + j][j]) % mod;
        return ans;
    }
    data operator-()
    {
        data ans = *this;
        int i;
        for(i = 1 ; i <= 20 ; i += 2) ans[i] = (mod - ans[i]) % mod;
        return ans;
    }
}a[N << 2];
inline void pushup(int x)
{
    a[x] = a[x << 1] + a[x << 1 | 1];
}
inline void pushdown(int x)
{
    if(rev[x])
    {
        a[x << 1] = -a[x << 1] , a[x << 1 | 1] = -a[x << 1 | 1];
        add[x << 1] = (mod - add[x << 1]) % mod , add[x << 1 | 1] = (mod - add[x << 1 | 1]) % mod;
        rev[x << 1] ^= 1 , rev[x << 1 | 1] ^= 1;
        rev[x] = 0;
    }
    if(add[x])
    {
        a[x << 1] = a[x << 1] + add[x] , a[x << 1 | 1] = a[x << 1 | 1] + add[x];
        add[x << 1] = (add[x << 1] + add[x]) % mod , add[x << 1 | 1] = (add[x << 1 | 1] + add[x]) % mod;
        add[x] = 0;
    }
}
void build(int l , int r , int x)
{
    if(l == r)
    {
        scanf("%lld" , &a[x][1]) , a[x][1] = (a[x][1] % mod + mod) % mod;
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(lson) , build(rson);
    pushup(x);
}
void update(int b , int e , ll v , int l , int r , int x)
{
    if(b <= l && r <= e)
    {
        a[x] = a[x] + v , add[x] = (add[x] + v) % mod;
        return;
    }
    pushdown(x);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(b <= mid) update(b , e , v , lson);
    if(e > mid) update(b , e , v , rson);
    pushup(x);
}
void reverse(int b , int e , int l , int r , int x)
{
    if(b <= l && r <= e)
    {
        a[x] = -a[x] , add[x] = (mod - add[x]) % mod , rev[x] ^= 1;
        return;
    }
    pushdown(x);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(b <= mid) reverse(b , e , lson);
    if(e > mid) reverse(b , e , rson);
    pushup(x);
}
data query(int b , int e , int l , int r , int x)
{
    if(b <= l && r <= e) return a[x];
    pushdown(x);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(e <= mid) return query(b , e , lson);
    else if(b > mid) return query(b , e , rson);
    else return query(b , e , lson) + query(b , e , rson);
}
void init(int n)
{
    int i , j;
    c[0][0] = 1;
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    {
        c[i][0] = 1;
        for(j = 1 ; j <= 20 ; j ++ )
            c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
    }
}
int main()
{
    int n , m , x , y , z;
    scanf("%d%d" , &n , &m);
    init(n) , build(1 , n , 1);
    while(m -- )
    {
        scanf("%s%d%d" , str , &x , &y);
        if(str[0] == ‘I‘) scanf("%d" , &z) , update(x , y , (z % mod + mod) % mod , 1 , n , 1);
        else if(str[0] == ‘R‘) reverse(x , y , 1 , n , 1);
        else scanf("%d" , &z) , printf("%lld\n" , query(x , y , 1 , n , 1)[z]);
    }
    return 0;
}