172. Factorial Trailing Zeroes

Posted 2020-10-11 andywu

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

题目含义：这里我们要求n!末尾有多少个0

思路：因为我们知道0是2和5相乘得到的，而在1到n这个范围内，2的个数要远多于5的个数，所以这里只需计算从1到n这个范围内有多少个5就可以了。

 

 1     public int trailingZeroes(int n) {
 2         //考虑n!的质数因子。后缀0总是由质因子2和质因子5相乘得来的，如果我们可以计数2和5的个数，问题就解决了。
 3 //考虑例子：n = 5时，5!的质因子中(2 * 2 * 2 * 3 * 5)包含一个5和三个2。因而后缀0的个数是1。
 4 //n = 11时，11!的质因子中((2 ^ 8) * (3 ^ 4) * (5 ^ 2) * 7)包含两个5和八个2。于是后缀0的个数就是2。
 5 //我们很容易观察到质因子中2的个数总是大于等于5的个数,因此只要计数5的个数即可。
 6 //那么怎样计算n!的质因子中所有5的个数呢？一个简单的方法是计算floor(n / 5)。例如，7!有一个5，10!有两个5。
 7 //除此之外，还有一件事情要考虑。诸如25，125之类的数字有不止一个5。
 8 //例如n=25, n!=25*24*23*...*15...*10...*5...*1=(5*5)*24*23*...*(5*3)*...(5*2)*...(5*1)*...*1，其中25可看成5*5,多了一个5，应该加上
 9 //处理这个问题也很简单，首先对n÷5，移除所有的单个5，然后÷25，移除额外的5，以此类推。下面是归纳出的计算后缀0的公式。
10 //n!后缀0的个数 = n!质因子中5的个数= floor(n / 5) + floor(n / 25) + floor(n / 125) + ....
11         int res = 0;
12         while (n>0){
13             res = res + n / 5;
14             n = n / 5;
15         }
16         return res;   
17     }