[51nod1188]最大公约数之和 V2

Posted 2020-10-11 Elder_Giang

 

             给出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最大公约数之和。

 

 

 

相当于计算这段程序（程序中的gcd(i,j)表示i与j的最大公约数）：

 

G=0;

for(i=1;i<N;i++)

for(j=i+1;j<=N;j++)

{

    G+=gcd(i,j);

}

Input

第1行：1个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 50000)
第2 - T + 1行：每行一个数N。(2 <= N <= 5000000)第1行：1个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 50000)
第2 - T + 1行：每行一个数N。(2 <= N <= 5000000)

Output

共T行，输出最大公约数之和。共T行，输出最大公约数之和。

Input示例

3
10
100
2000003
10
100
200000

Output示例

67
13015
14329549316067
13015
143295493160

首先明白题目求的是$\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^{i-1}gcd\left(i,j\right)$

考虑$\sum_{i=1}^{n-1}gcd\left(i,n\right)$这种简化版问题

枚举$gcd(n,j)=t$，那么$gcd(\frac{n}{t},\frac{n}{j})=1$，则贡献为$t\phi\left(\frac{n}{t}\right)$

那么$\sum_{i=1}^{n-1}gcd\left(i,n\right)=\sum_{t\mid n,t\not=n}t\phi\left(\frac{n}{t}\right)$

考虑完整版问题

$ans=\sum_{i=2}^n\sum_{t\mid i,t\not=i}t\phi\left(\frac{i}{t}\right)$

$=\sum_{t=1}^n\sum_{jt\le n,t\not=1}t\phi\left(j\right)$

把答案弄成前缀和形式，这样就可以$O\left(nlnn\right)$跑一遍然后$O\left(1\right)$回答

 

#include <cstdio>
const int maxn = 5000000 + 10;
typedef long long ll;
bool mark[maxn] = {false};
int pri[maxn], prn = 0;
int phi[maxn];
ll ans[maxn];
void shai(){
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; i++){
        if(!mark[i]){
            phi[i] = i - 1;
            pri[++prn] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= prn && pri[j] * i < maxn; j++){
            mark[i * pri[j]] = true;
            if(i % pri[j]) phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
            else{
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
                break;
            }
        }
    }
    ans[0] = 0;
    for(int i = 1; i < maxn; i++)
        for(int j = 2; i * j < maxn; j++)
            ans[i * j] += phi[j] * i;
    for(int i = 1; i < maxn; i++) ans[i] += ans[i - 1];
}
int main(){
    shai();
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d", &n);
        printf("%lld\n", ans[n]);
    }
    return 0;
}