[51nod1040]最大公约数之和

Posted 2020-10-11 Elder_Giang

给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6

1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

Input

1个数N(N <= 10^9)1个数N(N <= 10^9)

Output

公约数之和公约数之和

Input示例

66

Output示例

115

$ans=\sum_{i=1}^ngcd\left(i,n\right)$

$=\sum_{i=1}^n\sum_{j\mid i,j\mid n}\phi\left(j\right)$

$=\sum_{i\mid n}\frac{n\phi\left(i\right)}{i}$

然后$O(\sqrt{n})$的时间枚举因子，暴力求欧拉函数值即可

#include <cstdio>
int phi(int n){
    int ans = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++){
        if(n % i == 0){
            ans -= ans / i;
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n != 1) ans -= ans / n;
    return ans;
}
int main(){
    int n;
    long long ans = 0;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i * i <= n; i++){
        if(n % i == 0){
            ans += (long long) n * phi(i) / i;
            if(i * i != n) ans += (long long) n * phi(n / i) * i / n;
        } 
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}