NOIP2009 T3 最优贸易

Posted 2020-10-11 WYBIACX

题目描述

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市y 之间的双向道路。

 

输出格式：

 

输出文件 trade.out 共 1 行，包含 1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 0。

 

输入输出样例

输入样例#1：

5 5 
4 3 5 6 1 
1 2 1 
1 4 1 
2 3 2 
3 5 1 
4 5 2 

输出样例#1：

5

说明

【数据范围】

输入数据保证 1 号城市可以到达 n 号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市

水晶球价格≤100。

 

思路：

一开始读题目想到的就是跟强联通分量有关。

然而事实上，好多人用的是两遍SPFA， 但仔细想想....... 我还是用我一开始的思路吧。

我的做法就是先将题目给出的图进行tarjan缩点，然后再拓扑排序，之后再DP。

很明显的，在同一个强联通分量里面的每个城市都是可以多次经过的，于是，我们在求强联通分量的过程中记录当前强联通分量里点的最大值（maxx），最小值（minx)，与最大值与最小值之差（利润）(maxcost)。

在这之后，我们对图进行缩点，缩点之后新图是DAG（有向无环图），之后就进行DP。

我们设dp[i]为 新图中1所对应的强联通分量编号到 强联通分量编号为i的点能获得的最大利润。

设mincost[i]为新图中1所对应的强联通分量编号到 强联通分量编号为i的点的最小点值。

则在更行dp前我们先更新mincost (假设当前是从j点到i点) ：mincost[i] = min(mincost[j],minx[i]);

之后再进行状态转移： dp[i] = max( max(dp[i],dp[j]) , max(maxcost[i],maxx[i]-mincost[i]) );

在最后返回原图节点n所属的强联通节点编号 的dp值就行。

 

下面贴代码，有问题在下面留言。

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 100009
#define M 700009
using namespace std;

int en,en1,n;

struct edge{
    int e;
    edge *next;
}*v[N],*v1[N],ed[M],ed1[M];

void add_edge(int s,int e){                                //旧图 
    en++;
    ed[en].next = v[s],v[s] = ed+en,v[s]->e =e;
}

void add_edge1(int s,int e){                            //新图 
    en1++;
    ed1[en1].next = v1[s],v1[s] = ed1+en1,v1[s]->e =e;
}

int t,cnt,low[N],dfn[N],belong[N],minx[N],maxx[N],sta[N],stop = 1;        //tarjan组件 
bool instack[N];

int top[N],si = 0,in[N];                                            //top排序组件 

int mincost[N],maxcost[N],dp[N];                            //动态规划组件 

int node[N];                                                //原点值 

void dfs(int now){
    t++;
    low[now] = dfn[now] = t;
    instack[now] = true;
    sta[++stop] = now;
    
    for(edge *e = v[now];e;e=e->next)
      if(!dfn[e->e]){
          dfs(e->e);
          low[now] = min(low[now],low[e->e]);
      }    
      else if(instack[e->e])low[now] = min(low[now],dfn[e->e]);
    
    if(dfn[now] == low[now]){
        cnt++;
        int miz = 123456789,mx = -1;
        while(sta[stop] != now){
            int j = sta[stop--];
            belong[j] = cnt;
            instack[j] = false;
            miz = min(miz,node[j]);
            mx = max(mx,node[j]);
        }
        stop--;
        instack[now] = false;
        belong[now] = cnt;
        miz = min(miz,node[now]);
        mx = max(mx,node[now]);
        minx[cnt] = miz;
        maxx[cnt] = mx;
        maxcost[cnt] = mx-miz;
    }
}

int tarjan(){
    for(int a = 1; a <= n; a++)                    //tarjan主过程 
      if(!dfn[a])dfs(a);
      
    for(int a = 1; a <= n; a++)                    //缩点 
      for(edge *e = v[a];e;e=e->next)
        if(belong[a] != belong[e->e])
           add_edge1(belong[a],belong[e->e]);
           
    for(int a = 1; a <= cnt; a++)                //top排序 
      for(edge *e = v1[a];e;e=e->next)
        in[e->e]++;
    for(int a = 1; a<= cnt; a++)
      if(in[a] == 0)top[++si] = a;
    for(int a = 1; a <= si; a++){
        int now = top[a];
        for(edge *e = v1[now];e;e=e->next){
            in[e->e]--;
            if(!in[e->e])top[++si] = e->e;
        }
    }
    
    mincost[top[1]] = minx[top[1]];                    //动态规划 
    for(int a = 1; a <= cnt; a++){
        int now = top[a];
        for(edge *e = v1[now];e;e=e->next){
            mincost[e->e] = min(mincost[now],min(minx[e->e],mincost[now]));
            dp[e->e] = max(max(dp[e->e],dp[now]),max(maxcost[e->e],maxx[e->e]-mincost[e->e]));
        }
    }
    
    return dp[belong[n]];
}

int main(){
    int m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d",&node[i]);
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        int u,v,k;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&k);
        add_edge(u,v);
        if(k == 2)add_edge(v,u);
    }
    int ans = tarjan();
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}