[BZOJ 3813]奇数国

Posted 2020-10-11 rvalue

3813: 奇数国

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Description

在一片美丽的大陆上有100000个国家，记为1到100000。这里经济发达，有数不尽的账房，并且每个国家有一个银行。某大公司的领袖在这100000个银行开户时都存了3大洋，他惜财如命，因此会不时地派小弟GFS清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款。该村子在财产上的求和运算等同于我们的乘法运算，也就是说领袖开户时的存款总和为3100000。这里发行的软妹面额是最小的60个素数（p1=2,p2=3,…,p60=281），任何人的财产都只能由这60个基本面额表示，即设某个人的财产为fortune（正整数），则fortune=p1^k1*p2^k2*......p60^K60。

 

领袖习惯将一段编号连续的银行里的存款拿到一个账房去清点，为了避免GFS串通账房叛变，所以他不会每次都选择同一个账房。GFS跟随领袖多年已经摸清了门路,知道领袖选择账房的方式。如果领袖选择清点编号在[a,b]内的银行财产，他会先对[a,b]的财产求和（计为product），然后在编号属于[1,product]的账房中选择一个去清点存款，检验自己计算是否正确同时也检验账房与GFS是否有勾结。GFS发现如果某个账房的编号number与product相冲，领袖绝对不会选择这个账房。怎样才算与product不相冲呢？若存在整数x,y使得number*x+product*y=1，那么我们称number与product不相冲，即该账房有可能被领袖相中。当领袖又赚大钱了的时候，他会在某个银行改变存款，这样一来相同区间的银行在不同的时候算出来的product可能是不一样的，而且领袖不会在某个银行的存款总数超过1000000。

 

现在GFS预先知道了领袖的清点存款与变动存款的计划，想请你告诉他，每次清点存款时领袖有多少个账房可以供他选择，当然这个值可能非常大，GFS只想知道对19961993取模后的答案。

Input

第一行一个整数x表示领袖清点和变动存款的总次数。

接下来x行，每行3个整数ai,bi,ci。ai为0时表示该条记录是清点计划，领袖会清点bi到ci的银行存款，你需要对该条记录计算出GFS想要的答案。ai为1时表示该条记录是存款变动，你要把银行bi的存款改为ci，不需要对该记录进行计算。

Output

输出若干行，每行一个数，表示那些年的答案。

Sample Input

6
013
115
013
117
013
023

Sample Output

18
24
36
6

explanation
初始化每个国家存款都为3;

1到3的product为27，[1,27]与27不相冲的有18个数;
1的存款变为5;
1到3的product为45，[1,45]与45不相冲的有24个数;
1的存款变为7;
1到3的product为63，[1,63]与63不相冲的有36个数;
2到3的product为9，[1,9]与9不相冲的有6个数。

HINT

x≤100000，当ai=0时0≤ci−bi≤100000

Source

2015年国家集训队测试

题解

首先我们明确一下这题是在求 $\varphi$...

因为题面的方程只有在两数互质的时候才成立 ( $ExGCD$ 的时候不就是这么搞的么233)

然后我们发现题目保证每个数的质因子只包含最小的 $60$ 个质数, 所以可以考虑使用公式求 $\varphi(n)$ , 由于查询是求某段区间的积的 $\varphi$ 值, 所以我们可以将每个数都包含的质因子信息压位到一个 long long 里, 然后用线段树维护区间乘积包含的质因子与区间的乘积. 合并时对于质因子信息直接按位取 $\text{OR}$ 即可.

以及由于素数个数不大, 所以可以预处理出所有的质数以及它们对应的 $\frac{p-1}{p}$ 的值(或者直接打表233)来方便最终求值.

然后就是一个比较坑的地方: $int$ 左移次数超过 $31$ 就会 UB , 所以压位的时候注意用 $1ll$ 来左移.

参考代码

GitHub

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstring>
  3 #include <cstdlib>
  4 #include <iostream>
  5 #include <algorithm>
  6 
  7 const int MOD=19961993;
  8 const int MAXN=1e5+10;
  9 const int PR_CNT=60;
 10 
 11 int prime[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281};
 12 int inv[]={9980997,13307996,7984798,11406854,14517814,18426456,9393880,5253157,16490343,8260136,2575742,18343454,3895024,17640832,1698894,3013132,7443456,4581442,9236147,18275065,6562848,2779519,7936697,4037258,6379607,19566707,13566404,4104336,3662752,13602421,16661192,1219054,13259427,9047523,3751248,8196316,14621843,1714528,12192356,11884887,8029406,13455046,17976246,13342473,14084859,15548287,10217514,9846724,5364237,3486812,1627803,14950615,1076789,12406658,19340609,8652728,7791857,7955334,1657495,8808852};
 13 
 14 struct Node{
 15     int l;
 16     int r;
 17     Node* lch;
 18     Node* rch;
 19     long long tag;
 20     long long prod;
 21     Node(int,int);
 22     void Maintain();
 23     void Modify(int,long long);
 24     std::pair<long long,long long> Query(int,int);
 25 };
 26 
 27 int main(){
 28     int n,a,b,type;
 29     Node* N=new Node(1,100000);
 30     scanf("%d",&n);
 31     for(int i=0;i<n;i++){
 32         scanf("%d%d%d",&type,&a,&b);
 33         if(type==0){
 34             std::pair<long long,long long> x=N->Query(a,b);
 35             for(int i=0;i<PR_CNT;i++){
 36                 if((x.second&(1ll<<i))!=0){
 37                     (x.first*=inv[i])%=MOD;
 38                 }
 39             }
 40             printf("%lld\n",x.first);
 41         }
 42         else{
 43             N->Modify(a,b);
 44         }
 45     }
 46     return 0;
 47 }
 48 
 49 long long Calc(long long x){
 50     long long ans=0;
 51     for(int i=0;i<PR_CNT;i++){
 52         if(x%prime[i]==0){
 53             ans|=(1ll<<i);
 54         }
 55     }
 56     return ans;
 57 }
 58 
 59 std::pair<long long,long long> Node::Query(int l,int r){
 60     if(l<=this->l&&this->r<=r){
 61         return std::make_pair(this->prod,this->tag);
 62     }
 63     else{
 64         long long p=1;
 65         long long t=0;
 66         std::pair<long long,long long> tmp;
 67         if(l<=this->lch->r){
 68             tmp=this->lch->Query(l,r);
 69             (p*=tmp.first)%=MOD;
 70             t|=tmp.second;
 71         }
 72         if(this->rch->l<=r){
 73             tmp=this->rch->Query(l,r);
 74             (p*=tmp.first)%=MOD;
 75             t|=tmp.second;
 76         }
 77         return std::make_pair(p,t);
 78     }
 79 }
 80 
 81 void Node::Modify(int x,long long d){
 82     if(this->l==this->r){
 83         this->prod=d;
 84         this->tag=Calc(d);
 85     }
 86     else{
 87         if(x<=this->lch->r)
 88             this->lch->Modify(x,d);
 89         else
 90             this->rch->Modify(x,d);
 91         this->Maintain();
 92     }
 93 }
 94 
 95 inline void Node::Maintain(){
 96     this->tag=this->lch->tag|this->rch->tag;
 97     this->prod=this->lch->prod*this->rch->prod%MOD;
 98 }
 99 
100 Node::Node(int l,int r){
101     this->l=l;
102     this->r=r;
103     if(l==r){
104         this->prod=3;
105         this->tag=(1<<1);
106     }
107     else{
108         int mid=(l+r)>>1;
109         this->lch=new Node(l,mid);
110         this->rch=new Node(mid+1,r);
111         this->Maintain();
112     }
113 }

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