BZOJ 3813 奇数国

Posted 2020-10-11 Forever_goodboy

3813: 奇数国

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Description

在一片美丽的大陆上有100000个国家，记为1到100000。这里经济发达，有数不尽的账房，并且每个国家有一个银行。某大公司的领袖在这100000个银行开户时都存了3大洋，他惜财如命，因此会不时地派小弟GFS清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款。该村子在财产上的求和运算等同于我们的乘法运算，也就是说领袖开户时的存款总和为3100000。这里发行的软妹面额是最小的60个素数（p1=2,p2=3,…,p60=281），任何人的财产都只能由这60个基本面额表示，即设某个人的财产为fortune（正整数），则fortune=p1^k1*p2^k2*......p60^K60。

 

领袖习惯将一段编号连续的银行里的存款拿到一个账房去清点，为了避免GFS串通账房叛变，所以他不会每次都选择同一个账房。GFS跟随领袖多年已经摸清了门路,知道领袖选择账房的方式。如果领袖选择清点编号在[a,b]内的银行财产，他会先对[a,b]的财产求和（计为product），然后在编号属于[1,product]的账房中选择一个去清点存款，检验自己计算是否正确同时也检验账房与GFS是否有勾结。GFS发现如果某个账房的编号number与product相冲，领袖绝对不会选择这个账房。怎样才算与product不相冲呢？若存在整数x,y使得number*x+product*y=1，那么我们称number与product不相冲，即该账房有可能被领袖相中。当领袖又赚大钱了的时候，他会在某个银行改变存款，这样一来相同区间的银行在不同的时候算出来的product可能是不一样的，而且领袖不会在某个银行的存款总数超过1000000。

 

现在GFS预先知道了领袖的清点存款与变动存款的计划，想请你告诉他，每次清点存款时领袖有多少个账房可以供他选择，当然这个值可能非常大，GFS只想知道对19961993取模后的答案。

Input

第一行一个整数x表示领袖清点和变动存款的总次数。

接下来x行，每行3个整数ai,bi,ci。ai为0时表示该条记录是清点计划，领袖会清点bi到ci的银行存款，你需要对该条记录计算出GFS想要的答案。ai为1时表示该条记录是存款变动，你要把银行bi的存款改为ci，不需要对该记录进行计算。

Output

输出若干行，每行一个数，表示那些年的答案。

Sample Input

6
013
115
013
117
013
023

Sample Output

18
24
36
6

explanation

初始化每个国家存款都为3;

1到3的product为27，[1,27]与27不相冲的有18个数;
1的存款变为5;
1到3的product为45，[1,45]与45不相冲的有24个数;
1的存款变为7;
1到3的product为63，[1,63]与63不相冲的有36个数;
2到3的product为9，[1,9]与9不相冲的有6个数。

HINT

x≤100000，当ai=0时0≤ci−bi≤100000

Solution：

　　a*x+b*y=c等价于a*x≡c(mod b),有整数解得充分必要条件是:c%gcd(a,b)=0，因为这里c为1，即a、b互质，即求phi(product) ，但这里product太大显然不能直接线性筛，但我们知道它的质因子，phi(n)=n*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2*.....*(pn-1)/pn,因为题干里只有60个，用一个longlong类型的类似状压的玩意搞一搞就好了，在叶子节点暴力1~60扫一下然后直接往上pushup就好。

 

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <iostream>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 #define mod 19961993
 7 #define N 100005
 8 int n;
 9 int PHI[65]= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281};
10 long long ny[65];
11 int read() {
12     int s=0,f=1;
13     char ch=getchar();
14     for( ; ch<‘0‘||ch>‘9‘; f=(ch==‘-‘)?-1:f,ch=getchar()) ;
15     for( ; ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘; s=s*10+(ch^48),ch=getchar()) ;
16     return s*f;
17 }
18 long long qpow(long long x,int t) {
19     long long ans=1;
20     for( ; t; t>>=1,x=(x*x)%mod) if(t&1) ans=(ans*x)%mod;
21     return ans%mod;
22 }
23 struct TREE {
24     long long val,phi;
25 } tree[4*N];
26 void pushup(int rt) {
27     tree[rt].val=tree[rt<<1].val*tree[rt<<1|1].val%mod;
28     tree[rt].phi=tree[rt<<1].phi|tree[rt<<1|1].phi;
29 }
30 void build(int rt,int l,int r) {
31     if(l==r) {
32         tree[rt].val=3; 
33         tree[rt].phi=0;
34         for(int i=0; i<60; ++i) if(!(tree[rt].val%PHI[i])) tree[rt].phi|=(1ll<<i);
35         return ;
36     }
37     int mid=l+r>>1;
38     build(rt<<1,l,mid),build(rt<<1|1,mid+1,r);
39     pushup(rt);
40 }
41 void update(int rt,int pos,int l,int r,int val) {
42     if(l==r) {
43         tree[rt].val=val;
44         tree[rt].phi=0;
45         for(int i=0; i<60; ++i) if(!(tree[rt].val%PHI[i])) tree[rt].phi|=(1ll<<i);
46         return ;
47     }
48     int mid=l+r>>1;
49     if(pos<=mid) update(rt<<1,pos,l,mid,val);
50     else update(rt<<1|1,pos,mid+1,r,val);
51     pushup(rt);
52 }
53 TREE query(int rt,int L,int R,int l,int r) {
54     if(L<=l&&r<=R) return tree[rt];
55     int mid=l+r>>1;
56     TREE now,tmp;
57     now.val=1ll,now.phi=0;
58     if(L<=mid) {
59         tmp=query(rt<<1,L,R,l,mid);
60         now.val=now.val*tmp.val%mod;
61         now.phi|=tmp.phi;
62     }
63     if(mid<R) {
64         tmp=query(rt<<1|1,L,R,mid+1,r);
65         now.val=now.val*tmp.val%mod;
66         now.phi|=tmp.phi;
67     }
68     return now;
69 }
70 signed main() {
71     build(1,1,N-5);
72     for(int i=0; i<60; ++i) ny[i]=qpow(PHI[i],mod-2);
73     n=read();
74     for(int opt,a,b,T=1; T<=n; ++T) {
75         opt=read();
76         a=read(),b=read();
77         if(opt) update(1,a,1,N-5,b);
78         else {
79             TREE now=query(1,a,b,1,N-5);
80             long long ans=now.val;
81             for(int j=0; j<60; ++j) {
82                 if(now.phi&(long long)(1ll<<(long long)j)) {
83                     ans=ans*(PHI[j]-1)%mod*ny[j]%mod;
84                 }
85             } printf("%lld\n",ans);
86         }
87     } return 0;
88 }