[Bzoj3233][Ahoi2013]找硬币[基础DP]

Posted 2020-10-11

3233: [Ahoi2013]找硬币

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Description

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小蛇是金融部部长。最近她决定制造一系列新的货币。假设她要制造的货币的面值为x1,x2,x3… 那么x1必须为1，xb必须为xa的正整数倍（b>a）。例如 1，5，125，250就是一组合法的硬币序列，而1，5，100，125就不是。不知从哪一天开始，可爱的蛇爱上了一种萌物——兔纸！从此，小蛇便走上了遇上兔纸娃娃就买的不归路。某天，小蛇看到了N只可爱的兔纸，假设这N 只兔纸的价钱分别是a1,a2…aN。现在小蛇想知道，在哪一组合法的硬币序列下，买这N只兔纸所需要的硬币数最少。买兔纸时不能找零。

 

 

 

Input

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第一行，一个整数N，表示兔纸的个数

第二行，N个用空格隔开的整数，分别为N只兔纸的价钱

 

 

 

Output

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一行，一个整数，表示最少付的钱币数。

 

 

 

Sample Input

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2 
25 102 

 

Sample Output

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4 

 

HINT

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样例解释：共有两只兔纸，价钱分别为25和102。现在小蛇构造1，25，100这样一组硬币序列，那么付第一只兔纸只需要一个面值为25的硬币，第二只兔纸需要一个面值为100的硬币和两个面值为1的硬币，总共两只兔纸需要付4个硬币。这也是所有方案中最少所需要付的硬币数。

 

   1<=N<=50, 1<=ai<=100,000

 

分析：

 

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 本来凑面值的题就是十分亲民的题，再加上数据又十分亲民，所以就是一道十分亲民的题……。

 定义状态f[i]表示最大硬币为i面值时的最少硬币。转移方程f[i] = min（f[i]，f[j] - sum（（a[k] / i）* （i / j - 1）））；（j为i的因子，k为每只兔子价格）

  为什么这么转移，因为比如说我们有三枚三元硬币，我们可以转换成一枚九元硬币。

 很简单，比如说我们有一只兔子价格为28,用1元硬币去凑会用28枚（即f[1] = 28），用1、3去凑会有  f[3] = f[1] - 28 / 3 * （3 / 1 - 1） = 10枚硬币，用1,3，9去凑会有f[9] = f[3] -  28 / 9 * （9 / 3 - 1） = 4枚硬币。

 其实转移是很简单的，但是发现i的范围是100,000 ，j是i的因子需要去转化，k是每只兔子，复杂度很高的。我们可以考虑省掉j。即我们用递推。

 可以由f[j]倒推f[i]。

 发现100000 内每个数 不停加本身，推到100000，再乘上50只兔子的复杂度才几千万，随便卡过。

 我一开始是这么做的，于是4.6S过了（数据太亲民了）。

 其实后面我想了一下还可以优化，因为比如说f[27]由f[9]推过去肯定比由f[3]推过去优，所以对于每个数我们只用去推它的质数倍数就好了。

 设M =100,000,N = 50；

 K 为 M内所有数乘以质数倍推到100000的复杂度（好像这个数才十万左右....）

 筛素数（M loglog M），递推（N *  K）所以复杂度是（M log log M + N * K）。然后就从4.6S降到了1.6S。话说数据是真亲民啊……

附上AC代码：

 

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# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 102;
const int M = 1e5 + 12;
int a[N],n;
int f[M],ans,sum,maxn,cnt,p[M];
bool vis[M];
void shai(){
    for(int i = 2;i < M;i++){
        if(!vis[i])p[++cnt] = i;
        for(int j = 1;j <= cnt;j++){
            if(p[j] * i >= M)break;
            vis[p[j] * i] = true;
            if(i % p[j] == 0)break;
        }
    }
}
void Init(){
    memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof f);
}
int dp(int i,int j){
    int ans = f[j];
    for(int k = 1;k <= n;k++){
        ans -= (a[k] / i) * (i / j - 1);
    }
    return ans;
}
int main(){
  Init();
 
  scanf("%d",&n);
  for(int i = 1;i <= n;i++){
    scanf("%d",&a[i]);sum += a[i];
    maxn = max(maxn,a[i]);
  }
  f[1] = sum;ans = f[1];
  for(int i = 2;i <= maxn;i++){
    f[i] = min(f[i],dp(i,1));
    ans = min(ans,f[i]);
  }
  shai();
  for(int i = 2;i <= maxn;i++){
    for(int j = 1;j <= cnt;j++){
    if(p[j] * i > maxn)break;
        f[p[j] * i] = min(f[p[j] * i],dp(p[j] * i,i));
        ans = min(ans,f[p[j] * i]);
    }
  }
  printf("%d\n",ans);
}