NOIP2016 DAY1 T3 换教室

Posted 2020-10-11 WYBIACX

换教室

Description

对于刚上大学的牛牛来说,他面临的第一个问题是如何根据实际情况申请合适的课程。在可以选择的课程中,有2n节

课程安排在n个时间段上。在第i(1≤i≤n)个时间段上,两节内容相同的课程同时在不同的地点进行,其中,牛牛预先

被安排在教室ci上课,而另一节课程在教室di进行。在不提交任何申请的情况下,学生们需要按时间段的顺序依次完

成所有的n节安排好的课程。如果学生想更换第i节课程的教室,则需要提出申请。若申请通过,学生就可以在第i个

时间段去教室di上课,否则仍然在教室ci上课。由于更换教室的需求太多,申请不一定能获得通过。通过计算,牛牛

发现申请更换第i节课程的教室时,申请被通过的概率是一个已知的实数ki,并且对于不同课程的申请,被通过的概率

是互相独立的。学校规定,所有的申请只能在学期开始前一次性提交,并且每个人只能选择至多m节课程进行申请。

这意味着牛牛必须一次性决定是否申请更换每节课的教室,而不能根据某些课程的申请结果来决定其他课程是否申

请;牛牛可以申请自己最希望更换教室的m门课程,也可以不用完这m个申请的机会,甚至可以一门课程都不申请。因

为不同的课程可能会被安排在不同的教室进行,所以牛牛需要利用课间时间从一间教室赶到另一间教室。牛牛所在

的大学有v个教室,有e条道路。每条道路连接两间教室,并且是可以双向通行的。由于道路的长度和拥堵程度不同,

通过不同的道路耗费的体力可能会有所不同。当第i(1≤i≤n-1)节课结束后,牛牛就会从这节课的教室出发,选择一

条耗费体力最少的路径前往下一节课的教室。现在牛牛想知道,申请哪几门课程可以使他因在教室间移动耗费的体

力值的总和的期望值最小,请你帮他求出这个最小值。

Input

第一行四个整数n,m,v,e。n表示这个学期内的时间段的数量;m表示牛牛最多可以申请更换多少节课程的教室;

v表示牛牛学校里教室的数量;e表示牛牛的学校里道路的数量。

第二行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示c,,即第i个时间段牛牛被安排上课的教室;保证1≤ci≤v。

第三行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示di,即第i个时间段另一间上同样课程的教室;保证1≤di≤v。

第四行n个实数,第i(1≤i≤n)个实数表示ki,即牛牛申请在第i个时间段更换教室获得通过的概率。保证0≤ki≤1。

接下来e行,每行三个正整数aj,bj,wj,表示有一条双向道路连接教室aj,bj,通过这条道路需要耗费的体力值是Wj;

保证1≤aj,bj≤v,1≤wj≤100。

保证1≤n≤2000,0≤m≤2000,1≤v≤300,0≤e≤90000。

保证通过学校里的道路,从任何一间教室出发,都能到达其他所有的教室。

保证输入的实数最多包含3位小数。

 

Output

输出一行,包含一个实数,四舎五入精确到小数点后恰好2位,表示答案。你的

输出必须和标准输出完全一样才算正确。

测试数据保证四舎五入后的答案和准确答案的差的绝对值不大于4*10^-3。(如果你不知道什么是浮点误差,这段话

可以理解为:对于大多数的算法,你可以正常地使用浮点数类型而不用对它进行特殊的处理)

 

Sample Input

3 2 3 3
2 1 2
1 2 1
0.8 0.2 0.5 
1 2 5
1 3 3
2 3 1

Sample Output

2.80

 

思路： 其实这题是不会难的，只是相对来说，概率型DP题目做的比较少。 这题的题意很明显是floyd + 概率DP。

我们只要先将每个教室间的最短路求出来，然后进行DP就行， 不过，这题的动态转移方程式很.....恶心的。

 

我们设dp[i][j][0/1]为前i节课，一共申请了j次，第i次申不申请时的最小期望值，于是我们可以得到以下动态转移方程：

 

dp[i][j][0] = min( dp[i-1][j][0] + dist[c[i-1]][c[i]] , dp[i-1][j][1] + dist[c[i-1]][c[i]] * (1-k[i]) + dist[ d[i-1]][c[i]] * k[i]);

dp[i][j][1] = min(dp[i-1][j-1][0]+dist[c[i-1]][d[i]]*k[i]+dist[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i]) , dp[i-1][j-1][1]+dist[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])*(1-k[i])+dist[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i]+dist[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1-k[i])+dist[d[i-1]][d[i]]*k[i-1]*k[i]);

 

 

说不恶心人是假的......

不过，如果仔细想想，其实上面的转移方程不会难，定义好了状态自己就能写出来了。

接下来说一下初始化，初始化是将dp数组全部设为最大值，然后再使dp[1][0][0] = dp[1][1][1] = 0 ;

 

下面贴代码，如果有问题 ，请在下面留言。

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define V 320
#define N 2009
using namespace std;

int dist[V][V];  //两点距离
int n,m,v,e;
int c[N],d[N];   //c数组 与 d数组 
double k[N];

double dp[N][N][2];   //设状态dp[i][j][0/1]为前i个时间段中，申请了j个，第i个申不申请时的最小期望，因为此期望可以线性相加
                      //所以动态转移方程为
//dp[i][j][0] = min(dp[i-1][j][0]+dist[c[i-1]][c[i]],dp[i-1][j][1]+dist[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])+ dist[d[i-1]][c[i]]*k[i])
//dp[i][j][1] = min(dp[i-1][j-1][0]+dist[c[i-1]][d[i]]*k[i]+dist[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i]),dp[i-1][j-1][1]+dist[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])*(1-k[i])
  // + dist[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i] + dist[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1-k[i-1])+dist[d[i-1]][d[i]] * k[i-1]*k[i]);

int read(){                        //读入优化 
    int x = 0;
    char ch = getchar();
    while(ch > ‘9‘ || ch < ‘0‘)ch = getchar();
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘){
        x = x * 10 + ch - ‘0‘;
        ch = getchar();
    }
    return x;
}

void floyd(){
    for(int k = 1; k <= v; k++)
      for(int a = 1; a <= v; a++)
         for(int b = 1; b <= v; b++)
            dist[a][b] = min(dist[a][b],dist[a][k]+dist[k][b]);
}


void DP(){
    for(int i = 1; i <= v; i++)dist[i][i] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
       for(int j = 0; j <= m; j++)
          dp[i][j][0] = dp[i][j][1] = 1e30;
    dp[1][0][0] = dp[1][1][1] = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        int li = min(i,m);
        for(int j = 0; j <= li; j++){
            dp[i][j][0] = min(dp[i-1][j][0] + dist[c[i-1]][c[i]],dp[i-1][j][1]+dist[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]+dist[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1]));
            if(j == 0)continue;
            double x1 = dp[i-1][j-1][0]+dist[c[i-1]][d[i]]*k[i]+dist[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i]);
            double x2 = dp[i-1][j-1][1]+dist[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])*(1-k[i])+dist[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i];
           x2 +=dist[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1-k[i])+dist[d[i-1]][d[i]]*k[i-1]*k[i];
            dp[i][j][1] = min(x1,x2);
            
      }
    }
      
}


int main(){
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    n = read(),m = read(),v = read(),e = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++)c[i] = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++)d[i] = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%lf",&k[i]);
    for(int a = 1; a <= e; a++){
        int u = read(),vv = read(),d = read();
        if(u == vv)continue;
        if(dist[u][vv] < d)continue;
        dist[u][vv] = dist[vv][u] = d;
    }
    floyd();
    DP();
    double ans = 1e30;
    for(int i = 0; i <= m; i++)ans = min(ans,min(dp[n][i][0],dp[n][i][1]));
    printf("%.2f\n",ans);
    return 0;
}