-生成树的相关问题

Posted 2020-07-02 konjak魔芋

瓶颈生成树

　　无向图G的一颗瓶颈生成树(bottleneck spanning tree)。T是这样的一颗生成树，它最大的边权值在G的所有生成树中是最小的。瓶颈生成树的值为T中最大权值边的权。

　　即生成树中最长边最短的树。

　　无向图的最小生成树一定是瓶颈生成树，但瓶颈生成树不一定是最小生成树。

　　命题：无向图的最小生成树一定是瓶颈生成树。
　　　　证明：可以采用反证法予以证明。
　　　　假设最小生成树不是瓶颈树，设最小生成树T的最大权边为e，则存在一棵瓶颈树Tb，其所有的边的权值小于w(e)。删除T中的e，形成两棵数T‘, T‘‘，用Tb中连接T‘, T‘‘的边连接这两棵树，得到新的生成树，其权值小于T，与T是最小生成树矛盾。[1-2]
　　命题：瓶颈生成树不一定是最小生成树。