CCF CSP 201312-4 有趣的数
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CCF CSP 201312-4 有趣的数
问题描述
我们把一个数称为有趣的,当且仅当:
1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3,且这四个数字都出现过至少一次。
2. 所有的0都出现在所有的1之前,而所有的2都出现在所有的3之前。
3. 最高位数字不为0。
因此,符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外,4位的有趣的数还有两个:2031和2301。
请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大,只需要输出答案除以1000000007的余数。
1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3,且这四个数字都出现过至少一次。
2. 所有的0都出现在所有的1之前,而所有的2都出现在所有的3之前。
3. 最高位数字不为0。
因此,符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外,4位的有趣的数还有两个:2031和2301。
请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大,只需要输出答案除以1000000007的余数。
输入格式
输入只有一行,包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
输出只有一行,包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
样例输入
4
样例输出
3
解析
问题可以通过动态规划求解,把N位数的问题化解成为N-1位数的问题。
题目的核心是如何表示约束条件。如果N-1位数只包含0或者2,增加一位可以是0123;如果N-1位数只包含2或者3,增加一位只可能是0或者3。
根据上面的特征,动态规划的状态可以是前N-1位数只包含2、23、02、023、012、0123的个数。
题目所需求解的是包含0123数的个数。
根据题意可以推出第一个数必须为2,首先不可能是1或3,因为0需在1之前、2需在3之前,然后第一位数不能为0。
下图展示了状态的转移关系。
用矩阵可以表示为
代码
C++
#include <iostream> #define MAXN 1000000007 using namespace std; int main() { long long s2=1, s23=0, s02=0, s023=0, s012=0, s0123=0; int N; cin >> N; for(int n=1; n<N; n++) { s0123 = s023 + s012 + 2*s0123; s0123 %= MAXN; s012 = s02 + 2*s012; s012 %= MAXN; s023 = s23 + s02 + 2*s023; s023 %= MAXN; s02 = s2 + 2*s02; s02 %= MAXN; s23 = s2 + s23; s23 %= MAXN; } cout << s0123; }
以上是关于CCF CSP 201312-4 有趣的数的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章