NOIP2016愤怒的小鸟

Posted 2020-10-10 Stump

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 (0,0) 处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如 y=ax²+bx 的曲线，其中 a,b 是 Kiana 指定的参数，且必须满足 a<0,a,b 都是实数。

当小鸟落回地面（即 x 轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 n 只绿色的小猪，其中第 i 只小猪所在的坐标为 (x_i,y_i)。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 (x_i,y_i)，那么第 i 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 (x_i,y_i)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 i 只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于 (1,3) 和 (3,3)，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 y=−x²+4x 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有 T 个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

输入

从标准输入读入数据。

第一行包含一个正整数 T，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这 T 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 n,m，分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 n 行中，第 i 行包含两个正实数 x_i,y_i，表示第 ii 只小猪坐标为 (x_i,y_i)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果 m=0，表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。

如果 m=1，则这个关卡将会满足：至多用 ⌈n/3+1⌉ 只小鸟即可消灭所有小猪。

如果 m=2，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 ⌊n/3⌋ 只小猪。

保证 1≤n≤18，0≤m≤2，0<xi,yi<10，输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中，符号 ⌈c⌉和 ⌊c⌋ 分别表示对 c 向上取整和向下取整，例如：⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。

输出

输出到标准输出。

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

样例一

input

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

output

1
1

explanation

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与问题描述中的情形相同，2 只小猪分别位于 (1.00,3.00) 和 (3.00,3.00)，只需发射一只飞行轨迹为 y=−x²+4x 的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有 5 只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 y=−x²+6x 上，故 Kiana 只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

样例二

input

3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00

output

2
2
3

样例三

input

1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99

output

6

限制与约定

数据的一些特殊规定如下表：

测试点编号	n	m	T
1	≤2	=0	≤10
2			≤30
3	≤3		≤10
4			≤30
5	≤4		≤10
6			≤30
7	≤5		≤10
8	≤6
9	≤7
10	≤8
11	≤9		≤30
12	≤10
13	≤12	=1
14		=2
15	≤15	=0	≤15
16		=1
17		=2
18	≤18	=0	≤5
19		=1
20		=2

时间限制：2s

空间限制：512MB

下载

样例数据下载

 

题目链接：uoj.ac/problem/265

解题报告

一看到n<=18,其实就知道这是一道状压dp.

然后,我们就定义f[i][j],

表示以(0,0)(x_i,y_i)和(x_j,y_j)构成的抛物线最多可以射到几只猪的状态压成一个数,

1表示在抛物线上,0则反之,

那么先O(n³)暴力枚举,预处理一下就好了.

定义状态转移方程dp[i],

表示完成状态为i的最优步数.

则dp[s|f[i][j]]=min(dp[s|f[i][j]],dp[s]+1).

O(2ⁿ)枚举状态s,

O(n²)进行状态转移,

所以总复杂度为O(2ⁿ*n²).

AC代码:

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define BIG 1<<19
#define FOR(i,s,t) for(register int i=s;i<=t;++i)
using namespace std;
int n,m;
int T;
const double mimi=1e-10;
double x[21],y[21];
int f[21][21];
int dp[BIG];
inline double fabs(double a){
	return a>=0?a:-a;
}
inline void deal(){
	double a,b;
	FOR(i,0,n-1)
		FOR(j,0,n-1)
			f[i][j]=0; 
	FOR(i,0,n-1)
		f[i][i]=1<<i;
	FOR(i,0,n-1)
		FOR(j,i+1,n-1){
			a=(x[i]*y[j]-x[j]*y[i])/(x[i]*x[j]*(x[j]-x[i]));
			b=(y[j]*x[i]*x[i]-y[i]*x[j]*x[j])/((x[i]-x[j])*x[i]*x[j]);
			if(a>=-mimi)
				continue;
			FOR(k,0,n-1)
				if(fabs(a*x[k]*x[k]+b*x[k]-y[k])<=mimi)
					f[i][j]|=(1<<k);
		}
}
inline void solve(){
	FOR(i,1,(1<<n))
		dp[i]=2333;
	FOR(s,0,(1<<n)-2)
		FOR(i,0,n-1)
			FOR(j,i,n-1)

				dp[s|f[i][j]]=min(dp[s|f[i][j]],dp[s]+1);
	cout<<dp[(1<<n)-1]<<endl;
	return;
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		FOR(i,0,n-1)
			scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
		deal();
		solve();
	}
	return 0;
}