欧拉函数o(n)求素数

Posted 2020-07-01 sun897949163

欧拉函数的定义: E（N）= ( 区间[1,N-1] 中与 N 互质的整数个数).

　　对于 积性函数 F（X*Y），当且仅当 GCD（X，Y）= 1 时， F（X*Y） = F（X）* F（Y）

　　任意整数可因式分解为如下形式：

　　　 其中( p1, p2 … pk 为质数, ei 为次数 )　

　　所以

　　　　

　　因为 欧拉函数 E（X）为积性函数， 所以

　　　　

　　对于 ， 我们知道 因为pi 为质数，所以 [ 1, pi-1 ] 区间的数都与 pi 互质

　　对于 区间[ 1, ] ，共有 个数， 因为 只有一个质因子，

　　所以与 约数大于1 的必定包含 质因子 ， 其数量为
　　

　 所以　　 　

　　又 E（N）为积性函数，所以可得 ：

　　　　

　　又因为 其中( p1, p2 … pk 为质数, ei 为次数 )　

　　　　 但是此计算公式，除法过多，所以计算速度较慢

　　在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值 ( P为N的质因子 )

　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P==0) 则有:E(N)=E(N/P)*P;

　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P!=0) 则有:E(N)=E(N/P)*(P-1);

//求[a, b]中 素数的个数
int prime[500];
int vis[500];
int phi[500];

void Prime(int n)
{
    int cnt = 0;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for (int i = 2; i<n; i++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; j<cnt&&i*prime[j]<n; j++)
        {
            __int64 k = i*prime[j];
            vis[k] = 1;
            if (i%prime[j] == 0)
            {
                phi[k] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else
                phi[k] = phi[i] * (prime[j] - 1);

        }
    }
}

int main (void)
{
    int a, b;
    while(scanf("%d %d", &a, &b) != EOF)
    {
        int ans = 0;
        for(int i = a; i <= b; i++)
        {
            ans += phi[i];
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}