bzoj4347 [POI2016]Nim z utrudnieniem

Posted 2020-10-10 wfj_2048

Description

A和B两个人玩游戏，一共有m颗石子，A把它们分成了n堆，每堆石子数分别为a[1],a[2],...,a[n]，每轮可以选择一堆石子，取掉任意颗石子，但不能不取。谁先不能操作，谁就输了。在游戏开始前，B可以扔掉若干堆石子，但是必须保证扔掉的堆数是d的倍数，且不能扔掉所有石子。A先手，请问B有多少种扔的方式，使得B能够获胜。

Input

第一行包含两个正整数n,d(1<=n<=500000,1<=d<=10)。

第二行包含n个正整数a[1],a[2],...,a[n](1<=a[i]<=1000000)。

本题中m不直接给出，但是保证m<=10000000。

Output

输出一行一个整数，即方案数对10^9+7取模的结果。

Sample Input

5 2
1 3 4 1 2

Sample Output

2

 

正解：$dp$。

首先可以想到一个很显然的$dp$，$f[i][j][k]$表示前$i$个石子，扔的堆数模$d$为$j$，异或和为$k$的方案数，答案就是$f[n][0][0]$。注意如果$n$是$d$的倍数，那么答案要减一。

那么$f[i][j][k]=f[i-1][j][k]+f[i][j-1][k^a[i]]$，式子还是比较显然的。

考虑如何优化，因为题目给了一个条件：$m\leq 10000000$，那么我们可以按照石子数来排序，每次$dp$只枚举到当前石子的次数界，这样复杂度就是$O(n+md)$了。

这题还卡空间，但是我们可以不用滚动，因为$k$和$k^a[i]$是两个互补的转移，直接存一下中间值就行了。

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define RG register
 4 #define ll long long
 5 #define rhl (1000000007)
 6 #define S (1048576)
 7 
 8 using namespace std;
 9 
10 int f[10][S],g[S],a[S],m,n,d;
11 
12 il int gi(){
13   RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
14   while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar();
15   if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar();
16   while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
17   return q*x;
18 }
19 
20 il int add(RG int a,RG int b){
21   a+=b; if (a>=rhl) a-=rhl; return a;
22 }
23 
24 int main(){
25 #ifndef ONLINE_JUDGE
26   freopen("nim.in","r",stdin);
27   freopen("nim.out","w",stdout);
28 #endif
29   n=gi(),d=gi(),f[0][0]=1;
30   for (RG int i=1,x;i<=n;++i) ++a[x=gi()],m=max(m,x);
31   for (RG int i=1,bin=1;i<=m;++i){
32     while (bin<=i) bin<<=1;
33     while (a[i]--){
34       for (RG int k=0;k<bin;++k) g[k]=add(f[0][k^i],f[d-1][k]);
35       for (RG int j=d-1,x;j;--j)
36     for (RG int k=0;k<bin;++k){
37       if (k>(k^i)) continue;
38       x=f[j][k],f[j][k]=add(f[j-1][k],f[j][k^i]);
39       f[j][k^i]=add(f[j-1][k^i],x);
40     }
41       for (RG int k=0;k<bin;++k) f[0][k]=g[k];
42     }
43   }
44   cout<<add(f[0][0],rhl-(n%d==0)); return 0;
45 }