广义线性模型

Posted 2020-10-10 迈克老狼2012

 指数分布族

前面学习了线性回归和logistic回归。

对于\(P(y|x;\theta)\)

若y属于实数，满足高斯分布，得到基于最小二乘法的线性回归；

若y取{0,1}，满足伯努利分布，得到Logistic回归。

这两个算法，其实都是广义线性模型的特例。

考虑上述两个分布，伯努利分布和高斯分布：

1) 伯努利分布

设有一组只能取0或1的数据，用伯努利随机变量对其建模：

，则 ，改变参数φ，y=1这一事件就会有不同概率，会得到一类概率分布（而非固定的）。

2) 高斯分布

，改变参数μ，也会得到不同的高斯分布，即一类概率分布。

上述这些分布都是一类分布的特例，这类分布称为指数分布族。

指数分布族的定义：

若一类概率分布可以写成如下形式，那么它就属于指数分布族：

η - 自然参数，通常是一个实数

T(y) – 充分统计量，通常，T(y)=y，实际上是一个概率分布的充分统计量（统计学知识）

对于给定的a，b，T三个函数，上式定义了一个以η为参数的概率分布集合，即改变η可以得到不同的概率分布。

证明伯努利分布是指数分布族：

可知：

由上式可见，η=log(φ/(1-φ))，可解出：φ=1/(1+exp(-η))，发现得到logistic函数（之后讨论其原因），则：

证明高斯分布是指数分布族：

，设方差为1（方差并不影响结果，仅仅是变量y的比例因子）

这种情况下高斯密度函数为：

可得：

*指数分布族包括：

高斯分布（正态分布），多元正态分布；

伯努利分布（01问题建模），多项式分布（对k个结果的事件建模）；

泊松分布（对计数过程建模）；

伽马分布，指数分布（对实数的间隔问题建模）；

β分布，Dirichlet分布（对小数建模）；

Wishart分布（协方差矩阵的分布）…

3、 广义线性模型GLM

选定了一个指数分布族后，怎样来推导出一个GLM呢？

假设：

（1） ，即假设试图预测的变量y在给定x，以θ作为参数的条件概率，属于以η作为自然参数的指数分布族

例：若要统计网站点击量y，用泊松分布建模

（2） 给定x，目标是求出以x为条件的T(y)的期望E[T(y)|x]，即让学习算法输出h(x) = E[T(y)|x]

（3） ，即自然参数和输入特征x之间线性相关，关系由θ决定。仅当η是实数时才有意义。若η是一个向量，

推导伯努利分布的GLM：

，伯努利分布属于指数分布族

对给定的x，θ，学习算法进行一次预测的输出：

得到logistic回归算法。

正则响应函数：g(η) = E[y;η]，将自然参数η和y的期望联系起来

正则关联函数：g^-1

推导多项式分布的GLM：

多项式分布是在k个可能取值上的分布，即y∈{1,…,k}，如将收到的邮件分成k类，诊断某病人为k种病中的一种等问题。

（1）将多项式分布写成指数分布族的形式：

设多项式分布的参数： ，且 ，φi表示第i个取值的概率分布，最后一个参数可以由前k-1个推导出，所以只将前k-1个 视为参数。

多项式分布是少数几个T(y)!=y的分布，T(1)~T(k)都定义成一个k-1维的列向量，表示为：

这样定义T(y)是为了将多项式分布写成指数分布族形式。

*定义符号：指示函数，1{.}

1{True} = 1, 1{False} = 0，即大括号内命题为真，值为1,；否则为0。

例：1{2=3} = 0, 1{1+1=2} = 1

用T(y)i表示T(y)的第i个元素，则T(y)i = 1{y=i}

根据参数φ的意义（φi表示第i个取值的概率分布），可推出：

可得：

证明多项式分布式指数分布族。

再用η表示φ：

（2）根据上述假设（3）中自然参数和输入x的线性关系，可求得：

（3）根据上述假设（2）中的输出h(x) = E[T(y)|x]，可求得：

称这种回归算法为softmax回归，是logistic回归的推广。

Softmax回归的训练方法和logistic相似，通过极大似然估计找到参数θ，其对数似然性为：

再通过梯度上升或牛顿方法找对数似然性的最大值，即可求出参数θ。