算法分析| 第4集（循环分析）

Posted 2020-10-10

我们在之前的帖子中讨论了渐近分析，  最差，平均和最佳案例 还有渐近符号。

 在这篇文章中，讨论了使用简单示例分析迭代程序。

1）O（1）：如果一个函数（或一组语句）不包含循环，递归和调用任何其他非常数时间函数，则将其视为O（1）的时间复杂度。

 //非递归和非循环语句集

例如swap（）函数具有O（1）时间复杂度。
通常，运行常数次数的循环或递归也被认为是O（1）。

例如，以下循环是O（1）。

 // Here c is a constant   
   for (int i = 1; i <= c; i++) {  
        // some O(1) expressions
   }

2）O（n）：时间如果循环变量递增/递减一个常数，则循环的复杂度被认为是O（n）。例如，以下函数具有O（n）时间复杂度。

// Here c is a positive integer constant   
   for (int i = 1; i <= n; i += c) {  
        // some O(1) expressions
   }

   for (int i = n; i > 0; i -= c) {
        // some O(1) expressions
   }

3）O（n ^c）：嵌套循环的时间复杂度等于最内层语句的执行次数。

例如，以下样本循环具有O（n ²）时间复杂度

  for (int i = 1; i <=n; i += c) {
       for (int j = 1; j <=n; j += c) {
          // some O(1) expressions
       }
   }

   for (int i = n; i > 0; i += c) {
       for (int j = i+1; j <=n; j += c) {
          // some O(1) expressions
   }

例如，选择排序和插入排序具有O（n ²）时间复杂性。
4）O（Logn）时间如果循环变量被分割 / 乘以恒定量，则将循环的复杂度视为O（log n）。

 for (int i = 1; i <=n; i *= c) {
       // some O(1) expressions
   }
   for (int i = n; i > 0; i /= c) {
       // some O(1) expressions
   }

例如二进制搜索（参考迭代实现）具有O（log n）时间复杂度。
5）O（LogLogn）时间如果循环变量以指数规律减小/增加，则将循环的复杂度视为O（LogLogn）。

 // Here c is a constant greater than 1   
   for (int i = 2; i <=n; i = pow(i, c)) { 
       // some O(1) expressions
   }
   //Here fun is sqrt or cuberoot or any other constant root
   for (int i = n; i > 0; i = fun(i)) { 
       // some O(1) expressions
   }

看到这个更多的解释。

如何组合连续循环的时间复杂度？

当有连续循环时，我们将时间复杂度计算为单个循环的时间复杂度之和。

   for (int i = 1; i <=m; i += c) {  
        // some O(1) expressions
   }
   for (int i = 1; i <=n; i += c) {
        // some O(1) expressions
   }
   Time complexity of above code is O(m) + O(n) which is O(m+n)
   If m == n, the time complexity becomes O(2n) which is O(n).   

 

如何计算时间复杂度当在内层循环中有很多if，else语句？

如这里所讨论的，最糟糕的时间复杂度在最佳，平均和最差之间是最有用的。

所以我们需要考虑最坏的情况。我们评估if-else条件中的值会导致执行语句的最大数目的情况。

例如，考虑线性搜索函数，我们考虑到元素存在于结尾或完全不存在时的情况。

当代码太复杂而不能考虑所有的if-else情况时，我们可以通过忽略else和其他复杂的控制语句来获得上限。

如何计算递归函数的时间复杂度？

递归函数的时间复杂度可以写成数学递归关系。为了计算时间复杂度，我们必须知道如何解决循环。

我们不久将在单独的一篇文章中来讨论递归解决技术。