NOIP2010 引水入城

Posted 2020-10-10 日拱一卒 功不唐捐

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1514

题目描述

在一个遥远的国度，一侧是风景秀美的湖泊，另一侧则是漫无边际的沙漠。该国的行政区划十分特殊，刚好构成一个N 行M 列的矩形，如上图所示，其中每个格子都代表一座城市，每座城市都有一个海拔高度。

为了使居民们都尽可能饮用到清澈的湖水，现在要在某些城市建造水利设施。水利设施有两种，分别为蓄水厂和输水站。蓄水厂的功能是利用水泵将湖泊中的水抽取到所在城市的蓄水池中。

因此，只有与湖泊毗邻的第1 行的城市可以建造蓄水厂。而输水站的功能则是通过输水管线利用高度落差，将湖水从高处向低处输送。故一座城市能建造输水站的前提，是存在比它海拔更高且拥有公共边的相邻城市，已经建有水利设施。由于第N 行的城市靠近沙漠，是该国的干旱区，所以要求其中的每座城市都建有水利设施。那么，这个要求能否满足呢？如果能，请计算最少建造几个蓄水厂；如果不能，求干旱区中不可能建有水利设施的城市数目。

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件的每行中两个数之间用一个空格隔开。输入的第一行是两个正整数N 和M，表示矩形的规模。接下来N 行，每行M 个正整数，依次代表每座城市的海拔高度。

 

输出格式：

 

输出有两行。如果能满足要求，输出的第一行是整数1，第二行是一个整数，代表最少建造几个蓄水厂；如果不能满足要求，输出的第一行是整数0，第二行是一个整数，代表有几座干旱区中的城市不可能建有水利设施。

 

输入输出样例

输入样例#1：

【输入样例1】
2 5
9 1 5 4 3
8 7 6 1 2

【输入样例2】
3 6
8 4 5 6 4 4
7 3 4 3 3 3
3 2 2 1 1 2

输出样例#1：

【输出样例1】
1
1

【输出样例2】
1
3

说明

【样例1 说明】

只需要在海拔为9 的那座城市中建造蓄水厂，即可满足要求。

【样例2 说明】

上图中，在3 个粗线框出的城市中建造蓄水厂，可以满足要求。以这3 个蓄水厂为源头

在干旱区中建造的输水站分别用3 种颜色标出。当然，建造方法可能不唯一。

【数据范围】

 

如果能够满足要求，那么第一排的点在最后一排能够覆盖的是一段连续的区间

否则，不能满足要求

所以先dfs预处理出第一排的点在最后一排能覆盖的区间

要用记忆化，否则会TLE1个点

 

判断最后一排的每个点是否被覆盖

如果全被覆盖，说明满足要求

那问题就转化为 选取最少的线段，使其覆盖所有的区间

将线段按左端点排序，去除被完全包含的线段

设dp[i] 表示覆盖到的最右端点为i时，最少需要多少线段

枚举 上一条线段 j

如果i能作为j的下一条线段，即 r[j]>=l[i]-1

那么dp[r[i]]=min(dp[r[i]],dp[r[j]]+1) 

 

如果没有全被覆盖

在dfs的时候用bool标记被覆盖的点

最后统计即可

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 501

using namespace std;

int n,m,h[N][N];

int vis[N][N];
int dx[4]={-1,0,1,0};
int dy[4]={0,1,0,-1};

bool ok[N];
struct node2
{
    int l,r;
}e[N],g[N],f[N][N];

int dp[N];


bool cmp(node2 p,node2 q)
{
    if(p.l!=q.l) return p.l<q.l;
    return p.r<q.r;
}

void dfs(int x,int y)
{
    if(vis[x][y]) return;
    vis[x][y]=true;
    if(x==n) 
    {
        ok[y]=true;
        f[x][y].l=f[x][y].r=y;
    }
    int nx,ny;
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        nx=x+dx[i]; ny=y+dy[i];
        if(nx>0 && nx<=n && ny>0 && ny<=m && h[nx][ny]<h[x][y]) 
        {
            dfs(nx,ny);
            f[x][y].l=f[x][y].l ? min(f[nx][ny].l,f[x][y].l) : f[nx][ny].l;
            f[x][y].r=max(f[x][y].r,f[nx][ny].r);
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            scanf("%d",&h[i][j]),f[i][j].l=m+1;
    for(int i=1;i<=m;i++) dfs(1,i);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(!ok[i])
        {
            int sum=0;
            for(int j=i;j<=m;j++)
                if(!ok[j]) sum++;
            printf("0\n%d",sum);
            return 0;
        }
    for(int i=1;i<=m;i++) e[i]=f[1][i];
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    int tot1=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(e[i].l)
        {
            for(int j=i;j<=m;j++) g[++tot1]=e[j];
            break;
        }
    int tot2=1;    
    for(int i=2;i<=tot1;i++)
        if(g[i].r>g[tot2].r) g[++tot2]=g[i];
    memset(dp,63,sizeof(dp));
    dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=tot2;i++)
    {
        if(!g[i].l) continue;
        dp[g[i].r]=i;
        for(int j=i-1;j>=0;j--)
            if(g[j].r>=g[i].l-1)
            {
                if(g[j].r>=g[i].r) continue;
                dp[g[i].r]=min(dp[g[i].r],dp[g[j].r]+1);
            }
    }
    printf("1\n%d",dp[m]);
}