LCA+二分答案NOIP2015运输计划

Posted 2020-10-10 xCatRisk

公元 2044 年，人类进入了宇宙纪元。

L 国有 n 个星球，还有 n?1 条双向航道，每条航道建立在两个星球之间，这 n?1 条航道连通了 L 国的所有星球。

小 P 掌管一家物流公司， 该公司有很多个运输计划，每个运输计划形如：有一艘物流飞船需要从 ui 号星球沿最快的宇航路径飞行到 vi 号星球去。显然，飞船驶过一条航道是需要时间的，对于航道 j，任意飞船驶过它所花费的时间为 tj，并且任意两艘飞船之间不会产生任何干扰。

为了鼓励科技创新， L 国国王同意小 P 的物流公司参与 L 国的航道建设，即允许小P 把某一条航道改造成虫洞，飞船驶过虫洞不消耗时间。

在虫洞的建设完成前小 P 的物流公司就预接了 m 个运输计划。在虫洞建设完成后，这 m 个运输计划会同时开始，所有飞船一起出发。当这 m 个运输计划都完成时，小 P 的物流公司的阶段性工作就完成了。

如果小 P 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞， 试求出小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间是多少？

Input Format

第一行包括两个正整数 n,m，表示 L 国中星球的数量及小 P 公司预接的运输计划的数量，星球从 1 到 n 编号。

接下来 n?1 行描述航道的建设情况，其中第 i 行包含三个整数 ai,bi 和 ti，表示第 i 条双向航道修建在 ai 与 bi 两个星球之间，任意飞船驶过它所花费的时间为 ti。数据保证 1≤ai,bi≤n 且 0≤ti≤1000。

接下来 m 行描述运输计划的情况，其中第 j 行包含两个正整数 uj 和 vj，表示第 j 个运输计划是从 uj 号星球飞往 vj号星球。数据保证 1≤ui,vi≤n

Output Format

输出文件只包含一个整数，表示小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。

Sample Input

6 3
1 2 3
1 6 4
3 1 7
4 3 6
3 5 5
3 6
2 5
4 5

Sample Output

11

Hint

将第 1 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：11,12,11，故需要花费的时间为 12。

将第 2 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：7,15,11，故需要花费的时间为 15。

将第 3 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：4,8,11，故需要花费的时间为 11。

将第 4 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：11,15,5，故需要花费的时间为 15。

将第 5 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：11,10,6，故需要花费的时间为 11。

故将第 3 条或第 5 条航道改造成虫洞均可使得完成阶段性工作的耗时最短，需要花费的时间为 11。 

思路
因为最终所花时间是最长的花费时间所以让最长的花费时间最少 考虑用二分答案 首先建边 边数=n-1 为一棵树 
预处理出每个点的深度、所在的的边、每个点到根结点距离 
通过LCA求出询问的两点的路径dis 
求dis的操作：左结点到根节点的距离+右结点到根节点的距离-2*左结点与右结点的LCA到根节点的距离
二分一个ans dis>ans的路径为非法路径 
标记非法路径时 通过sum数组 sum的值表示这个点作为非法路径中的结点的次数 
sum[l]++,sum[r]++, sum[lca] -2(通过-2的操作使sum[lca]=0不影响其他路径) 
更新sum 通过 sum[x]+=sum[e[edge[x]].to]] edge数组表示x所在的边 
相当于x的sum值+x子节点的sum值 
由题意知 可将一个点设为虫洞 即经过此点time为0
故选择一个点作为虫洞后 所有非法路径都<ans 则满足这点的点必然被所有非法路径经过
所以二分ans时 找到是否存在这样的点作为虫洞 不存在则l=mid+1 
else ans=mid r=mid-1 即试图找更小的ans
第一次打倍增~ 打完注释（不敢说题解） 都超过3kb了（强行凑字数） ——Shawn_xcss~ 

假如红色是一条非法路径 sum 指的是 该结点指向其父节点 的这条边是否在非法路径里
如果在之后的非法路径中 这条边再次出现 sum++
满足条件的这条边一定会在所有非法路径中出现
因为非法路径>ans  而只能选择一个虫洞

所以虫洞一定在所有非法路径中

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

int n,m,num,maxx,ans;
int dep[300005],dis[300005],sum[300005];
int head[300005],edge[300005],fa[300005][20];

struct e
{
    int to,next,dis;
} e[600005];

struct node
{
    int li,ri,anc,dis; 
} node[300005];

void add(int x,int y,int z)
{
    e[++num].to=y;
    e[num].dis=z;
    e[num].next=head[x];
    head[x]=num;
}

void dfs(int x,int f,int de,int di)
{
    fa[x][0]=f;
    dep[x]=de;
    dis[x]=di;
    for (int i=head[x]; i; i=e[i].next)
    {
        if (e[i].to!=f)
        {
            edge[e[i].to]=i;
            dfs(e[i].to,x,de+1,di+e[i].dis);
        }
    }
}

void get_fa()
{
    for (int j=1; j<=19; j++)
        for (int i=1; i<=n; i++)
            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
}

int to_same(int a,int len)
{
    for (int i=0; i<=19; i++)
        if (len&(1<<i)) a=fa[a][i];
    return a;
}

int LCA(int a,int b)
{
    if (dep[a]<dep[b]) std::swap(a,b);
    a=to_same(a,dep[a]-dep[b]);
    if (a==b) return a;
    for (int i=16; i>=0; i--)
    {
        if (fa[a][i]!=fa[b][i])
        {
            a=fa[a][i];
            b=fa[b][i];
        }
    }
    return fa[a][0];
}

void update(int x,int fa)
{
    for (int i=head[x]; i; i=e[i].next)
    {
        if (e[i].to!=fa)
        {
            update(e[i].to,x);
            sum[x]+=sum[e[i].to];
        }
    }
}

bool judge(int x)
{
    int tot=0,dec=0;
    memset(sum,0,sizeof sum);
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        if (node[i].dis>x)
        {
            tot++;
            dec=std::max(dec,node[i].dis-x);
            sum[node[i].li]++;
            sum[node[i].ri]++;
            sum[node[i].anc]-=2;
        }
    }
    update(1,1);
    for (int i=1; i<=n; i++)
        if (sum[i]==tot&&e[edge[i]].dis>=dec) return true;
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1; i<n; i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    dfs(1,1,0,0);
    get_fa();
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d",&node[i].li,&node[i].ri);
        node[i].anc=LCA(node[i].li,node[i].ri);
        node[i].dis=(dis[node[i].li]+dis[node[i].ri])-2*dis[node[i].anc];
        maxx=std::max(maxx,node[i].dis);
    }
    int l=0,r=maxx;
    while (l<=r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if (judge(mid))
        {
            ans=mid;
            r=mid-1;
        }
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d",ans);
}