聪明的质检员 [NOIP 2011] [可持久化线段树]

Posted 2020-10-10

Description

小 T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有n个矿石，从 1 到n逐一编号，每个矿石都有自己的重量wi以及价值vi。检验矿产的流程是：
1. 给定 m个区间[Li,Ri]；
2. 选出一个参数W；
3. 对于一个区间[Li,Ri]，计算矿石在这个区间上的检验值Yi：

这批矿产的检验结果Y为各个区间的检验值之和。即：

若这批矿产的检验结果与所给标准值 S 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小 T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 W 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 S，即使得S?Y的绝对值最小。请你帮忙求出这个最小值。

Input

第一行包含三个整数n，m，S，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。
接下来的n 行，每行2 个整数，中间用空格隔开，第i+1 行表示i 号矿石的重量wi 和价值vi 。
接下来的m 行，表示区间，每行2 个整数，中间用空格隔开，第i+n+1 行表示区间[Li,Ri]的两个端点Li 和Ri。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

Output

输出只有一行，包含一个整数，表示所求的最小值。

Sample Input

5 3 15
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
1 5
2 4
3 3

Sample Output

10

Hint

【输入输出样例说明】
当W 选4 的时候，三个区间上检验值分别为20、5、0，这批矿产的检验结果为25，此时与标准值S 相差最小为10。
【数据范围】
对于10%的数据，有1≤n，m≤10；
对于30%的数据，有1≤n，m≤500；
对于50%的数据，有1≤n，m≤5,000；
对于70%的数据，有1≤n，m≤10,000；
对于100%的数据，有1≤n，m≤200,000，0 < wi, vi≤10^6，0 < S≤10^12，1≤Li≤Ri≤n。

 

思路

闲话

这道题标准解法是用前缀和+二分做，但我并没有想到前缀和的做法，可能还是我太蒻了

所以，我就傻逼惊奇地想到了可持久化线段树的做法...

正题

首先看题目，显然Y是满足单调性的，而只有在决定了W后才好统计，所以第一眼肯定知道这道题要二分

然后想怎么统计答案，由于第x次和x的上一次la之间，对答案有贡献有变化的点的只有满足一下两个条件：

　　a.Wla<=wi<Wx

　　b.Wx<=wi<Wla

其中a是对上一次有贡献，对这一次没贡献;而b是对上一次没贡献，对这一次有贡献。

所以我们就可以用可持久化线段树，每一次对历史版本进行修改，查询

时间复杂度O(2nlogn log(maxw))

 

代码

  1 #include<set>
  2 #include<map>
  3 #include<stack>
  4 #include<queue>
  5 #include<cstdio>
  6 #include<cstring>
  7 #include<iostream>
  8 #include<algorithm>
  9 #define RG register int
 10 #define rep(i,a,b)    for(RG i=a;i<=b;i++)
 11 #define per(i,a,b)    for(RG i=a;i>=b;i--)
 12 #define ll long long
 13 #define inf (1<<30)
 14 #define maxn 200005
 15 using namespace std;
 16 int n,m,tim,la=inf,id;
 17 ll S,ans;
 18 int w[maxn],v[maxn],L[maxn],R[maxn];
 19 int rt[50];
 20 struct Tree{
 21     int ls,rs,num;ll sum;
 22 }t[4000005];
 23 struct Q{
 24     ll sum;int num;
 25     Q operator + (const Q tmp)const{
 26         return (Q){sum+tmp.sum,num+tmp.num};
 27     }
 28 };
 29 inline ll read()
 30 {
 31     ll x=0,f=1;char c=getchar();
 32     while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
 33     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
 34     return x*f;
 35 }
 36 
 37 void build(int &pos,int l,int r,int val)
 38 {
 39     pos=++id;
 40     if(l==r){if(w[l]>=val)    t[pos].sum=v[l],t[pos].num=1;return;}
 41     int mid=(l+r)>>1;
 42     build(t[pos].ls,l,mid,val);
 43     build(t[pos].rs,mid+1,r,val);
 44     t[pos].sum=t[t[pos].ls].sum+t[t[pos].rs].sum;
 45     t[pos].num=t[t[pos].ls].num+t[t[pos].rs].num;
 46 }
 47 
 48 void update(int form,int &pos,int l,int r,int aim,int val)
 49 {
 50     pos=++id;
 51     t[pos].ls=t[form].ls,t[pos].rs=t[form].rs;
 52     if(l==r)
 53     {    
 54         t[pos].sum=val;
 55         if(val)t[pos].num=1;else t[pos].num=0;
 56         return;
 57     }
 58     int mid=(l+r)>>1;
 59     if(aim<=mid)    update(t[form].ls,t[pos].ls,l,mid,aim,val);
 60     else            update(t[form].rs,t[pos].rs,mid+1,r,aim,val);
 61     t[pos].sum=t[t[pos].ls].sum+t[t[pos].rs].sum;
 62     t[pos].num=t[t[pos].ls].num+t[t[pos].rs].num;
 63 }
 64 
 65 Q query(int pos,int l,int r,int ql,int qr)
 66 {
 67     if(ql<=l&&r<=qr){return (Q){t[pos].sum,t[pos].num};}
 68     int mid=(l+r)>>1;
 69     Q ret={0,0};
 70     if(ql<=mid)    ret=ret+query(t[pos].ls,l,mid,ql,qr);
 71     if(qr>mid)    ret=ret+query(t[pos].rs,mid+1,r,ql,qr);
 72     return ret;
 73 }
 74 
 75 ll check(int x)
 76 {
 77     ++tim;
 78     bool flg=0;
 79     if(tim==1)    build(rt[1],1,n,x),flg=1;
 80     else
 81     {
 82         rep(i,1,n)
 83         {
 84             if(la<=w[i]&&w[i]<x)//delete
 85             {
 86                 if(!flg)    update(rt[tim-1],rt[tim],1,n,i,0),flg=1;
 87                 else        update(rt[tim],rt[tim],1,n,i,0);
 88             }
 89             else if(x<=w[i]&&w[i]<la)//add    
 90             {
 91                 if(!flg)    update(rt[tim-1],rt[tim],1,n,i,v[i]),flg=1;
 92                 else         update(rt[tim],rt[tim],1,n,i,v[i]);
 93             }
 94         }
 95     }
 96     
 97     if(!flg)    tim--;
 98     ll rans=0;Q ret;
 99     rep(i,1,m)
100         ret=query(rt[tim],1,n,L[i],R[i]),rans+=ret.sum*(ll)ret.num;
101     la=x;
102     return rans;
103 }
104 
105 int main()
106 {
107     int l=1,r=0,mid;
108     ll ans=(1ll<<40);
109     n=read(),m=read(),S=read();
110     rep(i,1,n)    w[i]=read(),v[i]=read(),r=max(r,w[i]);
111     rep(i,1,m)    L[i]=read(),R[i]=read();
112     r++;
113     while(l<=r)
114     {
115         mid=(l+r)>>1;
116         ll tmp=check(mid);
117         ans=min(ans,abs(S-tmp));
118         if(tmp<S)    r=mid-1;
119         else l=mid+1;
120     }
121     cout<<ans;
122     return 0;
123 }

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