洛谷P2606 [ZJOI2010]排列计数

Posted 2020-10-10 小时のblog

题目描述

称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。

 

输出格式：

 

输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,?, ???的排列中， Magic排列的个数模 p的值。

 

输入输出样例

输入样例#1：

20 23 

输出样例#1：

16

说明

100%的数据中，1 ≤N ≤ 10^6, P≤ 10^9，p是一个质数。

 

题目大意：求1--n能构成小根堆的排列

题解：

暴力30...

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,p,ans,a[1000009];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=i;
    do{
        bool flag=false;
        for(register int i=2;i<=n;i++){
            if(a[i]<a[i/2]){
                flag=true;break;
            }
        }
        if(!flag)ans=(ans%p+1%p)%p;
    }while(next_permutation(a+1,a+n+1));
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

正解：Lucas定理+树形dp

没看出来是小根堆...我这个沙茶...

然后根一定是最小的，然后f[i]=c(s[i]-1,s[i<<1])*f[l]*f[r]

f[i]表示以i为根的小根堆的数量....然后左子树的大小就是从s[i]-1（减去根

中选出s[i<<1]，用Lucas定理求就行啦...

因为有子问题的....

ps：不知道为什么一直WA，抱着试试看的心态，我多加了一个取模。

你猜怎么着？就A了....

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 1000009
#define LL long long
using namespace std;

LL n,p;
LL f[maxn],inv[maxn],s[2*maxn],dp[maxn];

LL ksm(LL x,LL y){
    LL ret=1%y;
    while(y){
        if(y&1)ret=(1LL*ret*x)%p;
        x=1LL*x*x%p;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}

void pre(){
    f[0]=inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=(1LL*f[i-1]*i)%p;
    for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=ksm(f[i],p-2)%p;
}

LL C(LL n,LL m){
    return 1LL*f[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;
}
 
LL Lucas(LL n,LL m){
    if(!m)return 1;
    return C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    pre();
    for(int i=n;i>=1;i--){
        s[i]=s[i<<1]+s[i<<1|1]+1;
        dp[i]=Lucas(s[i]-1,s[i<<1])%p;
        if((i<<1)<=n)dp[i]=dp[i]*dp[i<<1]%p;
        if((i<<1|1)<=n)dp[i]=dp[i]*dp[i<<1|1]%p;
        dp[i]=dp[i]%p;
    }
    printf("%lld\n",dp[1]%p);
    return 0;
}