转载递推公式的特征方程及通项公式

Posted 2020-10-10 Dance Of Faith

先贴上链接：http://blog.csdn.net/happykocola/article/details/73933314

因为最近在复习初赛，然后碰到了这道题，并不会做，才发现有这么高明的方法...

已知递推关系式：
  f(n)=5f(n-1)-6f(n-2)    (n>1)
  f(0)=1
  f(1)=0
则f(n)的通项式为：______________________________

解释：通过特征方程法，

我们可以列出这样一个方程 x^2=5*x-6

然后解得 x1=2,x2=3

那么可以大致列出一个通项式 f(n)=a*2^n+b*3^n

最后把f(0)和f(1)代入，求出a和b的值，即可

答案为f(n)=3*2^n-2*3^n

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下面是一些关于这个方法的解释：

问题： 
递归公式F（N） = F（N-1）+ F（N-2），F（N）的特征方程为：x^2 = x + 1.

该递归公式即斐波那契数列，但其特征方程是怎么求得的，却不明白，于是查找了一些资料，总结如下.

首先，回顾高中数列相关的内容，如下， 
 
求该数列的通项公式，过程如下， 

这样求，虽然结果正确，但过程繁琐，很容易出错；有一种新的方法求解递归公式的通项公式，即使用递归公式的特征方程求解递推公式的通项公式， 
先来一个直观的例子，还是如下递推公式， 
 
其特征方程为 
 
解为x0 = 1, x2 = 3, 
则， 
 
代入a0 = 3， a1 = 5可得： 
 
可以看到，这两种方法计算的结果相同，且都是正确的，但使用特征方程求解，十分方便.

使用特征方程的一个问题是，如何计算得到递推公式的特征方程， 
 
如上图，计算一个递推公式的通项公式，只要将c1和c2的值带入r^2 = c1 * r + c2即可，然后用上述的方法求解通项公式即可.

至于原理，自己数学不好，尝试去了解一下，但无奈比较难，而且现在面临秋招，时间比较紧，就没有继续往深处挖掘了.

注意，上述方法仅针对这种形式的递推公式.

最后的最后，附上开头问题的解决方法，为了省事，直接copy《编程之美》的内容了，