积性函数基础学习

Posted 2020-10-10

积性函数基础学习

 

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1. 什么是积性函数?

积性函数的两个定义:

    (1) 积性函数:对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数.

    (2) 完全积性函数:对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数.

观察以上对积性函数的定义,我们可以找出关于此类函数的特点:

    (1) 在积性函数的定义f(ab)=f(a)*f(b)中,要求a和b都是整数.

       (2) 对于普通的积性函数而言,存在额外的条件,要求a和b都互质(GCD(a,b)==1).

    (3) 所有积性函数满足f(ab)=f(a)*f(b)的运算规则.

 

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2. 积性函数有什么性质?

性质一:

与算术基本定理有关.

若将n表示成质因子分解式

则有

给这句话再多添几笔,就是:

 

这里的意思是f(ab)=f(a)*f(b)其实是可以通过唯一分解定理推广成f(abcd...)=f(a)*f(b)*f(c)*f(d)*...(a,b,c,d...之间两两互质)的形式的.关于这个性质,一种最简单的理解是,我们其实可以将右式的f(a)*f(b)*f(c)*f(d)*...的任意两个函数化成一个函数(容易看出这两个函数是满足积性函数运算规则的),每一步操作右边就会少一个函数,最终右式会只下剩f(A)*f(B)这两个函数(且A*B==abcd...),将其带回原式,并进行一定的变换,整个式子就会又回到了f(ab)=f(a)*f(b)的形式.

 

性质二:

若f为积性函数且有

则f为完全积性函数。

 

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3.有哪些积性函数？

积性:

　　φ(n) －欧拉函数，计算与n互质的正整数之数目

　　μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目

　　gcd(n,k)－最大公因子，当k固定的情况

　　d(n) －n的正因子数目

　　σ(n) －n的所有正因子之和

　　σk(n)－因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。

　　1(n) －不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）

　　Id(n)－单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）

　　Idk(n)－幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k（完全积性）

　　ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）

　　λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目

　　γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目

       另外，所有狄利克雷特征均是完全积性的[1]

非积性:

　　冯·曼戈尔特函数：当n是质数p的整数幂，Λ(n)=ln(p)，否则Λ(n)=0

　　不大于正整数n的质数的数目π(n)

　　整数拆分的数目P(n)：一个整数能表示成正整数之和的方法的数目[2]

 

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4.积性函数实战！ 

例题1：[Hdu1452]Happy 2004

 

 

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资料来源&推荐博客:

    (1)百度百科:https://baike.baidu.com/item/%E7%A7%AF%E6%80%A7%E5%87%BD%E6%95%B0/8354949?fr=aladdin

   (2)博客|浅谈一类积性函数的前缀和(已经全部是更后面的知识了,转载)：http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009

      (3)博客|积性函数、线性筛、莫比乌斯反演和一堆乱七八糟的题目:http://jcvb.is-programmer.com/posts/41846.html