[NOI1999] 棋盘分割（推式子+dp）

Posted 2020-10-10 安

http://poj.org/problem?id=1191

棋盘分割

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Description

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行) 

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。 
均方差，其中平均值，x_i为第i块矩形棋盘的总分。 
请编程对给出的棋盘及n，求出O\'的最小值。 

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。 
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。 

Output

仅一个数，为O\'（四舍五入精确到小数点后三位）。

Sample Input

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

1.633

Source

Noi 99

 

 

/*
设f(i,a,b,c,d)表示切第i刀，剩余的矩形左上角和右下角的坐标是(a,b)和(c,d)，
除了剩余部分其它部分的xi平方和的最小值。
那么f(i)可以向f(i+1)转移，只需要暴力枚举第i+1刀从哪里切了一刀即可。 
*/ 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;
const int inf=1<<30;
int n, chess[9][9],sum[9][9],dp[9][9][9][9][15];

int getX(int y1, int x1, int y2, int x2)
{
    int a=sum[y2][x2]-sum[y2][x1-1]-sum[y1-1][x2]+sum[y1-1][x1-1];
    return a*a;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i=1; i<=8; i++)
        for(int j=1; j<=8; j++)
            scanf("%d", &chess[i][j]);
    for(int i=1; i<=8; i++)
    {
        for(int j=1; j<=8; j++)
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+chess[i][j];
        for(int j=1; j<=8; j++)
            sum[i][j]+=sum[i-1][j];
    }

    for(int i1=1; i1<=8; i1++)
      for(int j1=1; j1<=8; j1++)
        for(int i2=i1; i2<=8; i2++)
          for(int j2=j1; j2<=8; j2++)
            dp[i1][j1][i2][j2][0]=getX(i1, j1, i2, j2);

    for(int i=1; i<n; i++)
      for(int i1=1; i1<=8; i1++)
        for(int j1=1; j1<=8; j1++)
          for(int i2=i1; i2<=8; i2++)
            for(int j2=j1; j2<=8; j2++)
            {
                dp[i1][j1][i2][j2][i]=inf;
                //左右切割
                for(int k=j1; k<j2; k++)
                  dp[i1][j1][i2][j2][i]=min(dp[i1][j1][i2][j2][i], min(dp[i1][j1][i2][k][i-1]+dp[i1][k+1][i2][j2][0], dp[i1][j1][i2][k][0]+dp[i1][k+1][i2][j2][i-1]));
                //上下切割
                for(int k=i1; k<i2; k++)
                  dp[i1][j1][i2][j2][i]=min(dp[i1][j1][i2][j2][i], min(dp[i1][j1][k][j2][i-1]+dp[k+1][j1][i2][j2][0], dp[i1][j1][k][j2][0]+dp[k+1][j1][i2][j2][i-1]));
            }
    printf("%d\\n",dp[1][1][8][8][n-1]);
    return 0;
}