图论引导笔记 第七章 有向图

Posted 2020-10-10 uangjianghui

7.1 强有向图

定义：    

1、弧/有向边：有向图的集合E中的元素，E中元素为不同顶点的有序对。

2、定向图：(u,v)与(v,u)至多有一个是有向图D的弧的有向图。定向图可以是给无向图G的每一条边定下一个方向，故可以称是图G的一个定向。

3、子有向图：如果V(H)V(D), E(H)E(D)，则有向图H是有向图D的一个子有向图。

4、对称的(有向图)：当(u,v)是有向图的一条弧度，则(v,u)也是有向图的一条弧。

5、出/入度：顶点v所邻接/邻接自的顶点个数，记id/od v。

 

6、链：有向图的一条路径，链上弧出现的次数为链的长度。记作

7、(有向)迹：一条没有重复弧的链。可以记作u-v

8、(有向)路：一条没有重复顶点的链。

9、(链的)开/闭：若则为闭的，若则为闭的。

10、回路：长度至少为2的闭迹。（没有重复弧）

11、圈：除了起始点外没有重复出现的顶点称为闭链。（没有重复点）

 

12、基础图：由图D通过除去D中弧的方向且用单边代替每对平行边所获得的图。与定向是相反的概念

13、(有向图)连通/弱连通：有向图D的基础图是连通的。

14、强的/强连通图：对于任意顶点对，均有一条u-v 与v-u 路.

15、有向距离：图D中最短的一条u-v路的长度。记作d(u,v)

16、测地线：长度为d(u,v)的u-v路。

 

17、(强连通)有向图的Euler 回路：包含图D每一条弧的回路。

18、Euler有向图：含有Euler回路的有向图。

 

定理：    

7.1 (有向图理论第一定理) 所有顶点的入度的总和等于出度的总和等于|G.E|。证明：显然

7.2 u-v链长≥某条u-v路长。证明：显然

7.3 有向图是强连通的当且仅当D含有一条闭生成链。证明："生成"表示保留所有原来顶点，其余直接证明

7.4 非平凡图是Euler的，当且仅当对于图D的每个顶点v，均有od v=id v。证明：顶点的每一次出现对出入度均贡献了1

7.5 非平凡连通图G有一个强连通定向当且仅当G不含有割边（2边连通）。证明：充分性显然，必要性先给图中的圈定向

 

 

7.2竞赛图

定义：

1、竞赛图：完全图的一个定向

2、(有向图的)同构：，记作