区间DP小结

Posted 2020-10-10

临近NOIP，蒟蒻决定对自己所学过的知识进行一波总结。

 

区间DP是一种非常常见、非常实用的算法。

一般是用于维护区间$[1,n]$中的最值的算法，通过枚举不同的区间长度，来达到向后寻找的目的。

一般的状态转移方程如下：

$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+......)$

 

例题：

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.

输入输出格式

输入格式：

 

数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.

 

输出格式：

 

输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.

 

输入输出样例

输入样例#1：

4
4 5 9 4

输出样例#1：

43
54

基础模板，通过维护从小到大的不同区间长度的最值，来达到求出答案的目的。
用一个前缀和维护就可以在O(1)的时间里找到合并的值。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAXN=210;

int n;
int a[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int f[MAXN][MAXN];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        a[i+n]=a[i];
    }
    for(int i=2;i<=2*n;i++) a[i]+=a[i-1];
    for(int i=2*n-1;i;i--)
        for(int j=i+1;j<=2*n;j++)
        {
            int b=0x7f7f7f7f;
            for(int k=i;k<j;k++)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[j]-a[i-1],dp[i][j]);
                b=min(f[i][k]+f[k+1][j]+a[j]-a[i-1],b);
            }
            f[i][j]=b;
        }
    int ans1=0,ans2=0x7f7f7f7f;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans1=max(ans1,dp[i][i+n-1]);
        ans2=min(ans2,f[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d\n%d",ans2,ans1);
}

 

题目描述

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

输入输出格式

输入格式：

 

输入的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

 

输出格式：

 

输出只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*10^9），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

 

输入输出样例

输入样例#1：

4
2 3 5 10

输出样例#1：

710

说明

NOIP 2006 提高组 第一题

 

同样是一道模板题。具体看注释。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int MAXN=110;

int dp[MAXN*2][MAXN*2];
int ener[MAXN*2];

int n;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&ener[i]);
        ener[i+n]=ener[i];
    }
    
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int l=1,r;l<=2*n-i+1;l++)
        {
            r=l+i-1;
            for(int k=l;k<r;k++)
                dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k+1][r]+ener[l]*ener[k+1]*ener[r+1]);//dp[l][k]表示l~k已经被合并为一颗珠子了，所以用l作为开始，到下一颗珠子k+1，k+1~r又被合并了，所以下一颗珠子为r+1
        }
    
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=max(ans,dp[i][i+n-1]);
    }
            
    printf("%d",ans);
}