51nod 1317 相似字符串对(容斥原理+思维)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了51nod 1317 相似字符串对(容斥原理+思维)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题意:
称一对字符串(A,B)是相似的,当且仅当满足以下条件:
(1)字符串A和B都恰好包含N个字符;
(2)A和B串中的每个字符都是小写字母的前k个字符,即A、B中只可能出现‘a‘,‘b‘,‘c‘,...,(‘a‘+k-1)这k个字符;
(3)存在一个字符串C,满足:A+C=C+B。这里的“+”号表示字符串间的链接,即str1+str2 = str1str2,如:“aaa”+“csd”=“aaacsd”。
例如,N=3,k=4那么("aad","daa")就是相似字符串对。
因为C="aa"时,有"aad"+"aa"="aadaa"="aa"+"daa".
现在给出N与k,问有多少种不同的相似字符串对,输出这个结果 mod 1,000,000,007的值。
说明:两个字符串对(A,B)与(C,D)是不同的,只要 A!=C 或 B!= D。
例如:N=2,k=2,一共有6种不同的相似字符串对,它们是: ("aa", "aa"), ("ab", "ab"),
("ab", "ba"), ("ba", "ab"), ("ba", "ba"), ("bb", "bb").
题解:
先考虑相似字符串意味着什么,如果满足了A+C=C+B
如果C的长度大于n,那么就可以写成AAAA....AP = QB....BBBB
我们会发现中间的A和B都是不必要的,实际上还是转换成A‘AP = BB, AA=QBB‘
这个条件实际上就是指A的前缀等于B的后缀,且A和B有一段相同。
再进一步想,其实就是指A和B可以循环匹配。问题就转换成找有多少串可以循环匹配。
那么接下来如果知道一个串的循环节长度是p,那么它循环产生的p个新的串实际上都和它相似,所以它产生的贡献就是p
如果这种串有f(p)个,实际上答案就是p*f(p)。
循环节长度只能是n的约数,所以求出所有的p
最后把答案求和即可(这里用容斥+记忆化搜索解决,实际上p最多只有10^3左右个,所以复杂度最多是10^6)
#include <iostream> #include <cstdio> #include <map> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long LL; const LL MOD = 1e9 + 7; map<int, LL> dp; vector<LL> G; int n, k; LL mypow(LL a, LL b) { LL ans = 1; for(; b; b >>= 1, (a *= a) %= MOD) if(b&1) (ans *= a) %= MOD; return ans; } LL dfs(LL n){ if(dp[n]) return dp[n]; dp[n] = mypow(k, n); for(auto x : G) { if(x >= n) break; if(n % x == 0) (dp[n] = dp[n] - dfs(x) + MOD) %= MOD; } return dp[n]; } int main() { cin>>n>>k; for(int i = 1; i*i <= n; i++) if(n % i == 0) { G.push_back(i); if(n/i != i) G.push_back(n/i); } sort(G.begin(), G.end()); dfs(n); long long ans = 0; for(auto x : G) (ans += (LL)x*dp[x]) %= MOD; cout<<ans<<endl; return 0; }
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