NOIP2016天天爱跑步

Posted 2020-10-10 D O Time

【NOIP2016】天天爱跑步

© 题目大意：给你一棵树，经过每一条边的时间为1.告诉你个人分别从各自的起点到各自的终点，每一个节点有一个时间w_i，问你每一个节点在w_i这一刻能看到几个人在自己这一个节点。

© 题解：

这道题可能会想到的一个暴力解法：LCA。模拟路径，逐个标记。但是这是没有必要的。

对于树上的一个节点i，如果起点在他的子树内，终点不在，那么要在这个点看到这个人的充要条件就是w[i]+deep[i]==deep[s]（深度之差就是时间之差）。

对于树上的一个节点i，如果终点在他的子树内，起点不在，那么要在这个点看到这个人的充要条件就是dis(s,t)-w[i]==deep[t]-deep[i]（t为终点，s为起点）（路径长度-i节点观测的时间，就是剩下的从i到终点的时间，也就是深度差了。）

然后LCA使用倍增来求解。我们把这两种状态分开来统计答案，那么需要使用动态数组，将si加入到si与ti的LCA处。然后按照dfs序，每次统计这课子树有多少个路径的起点，使用一个深度的桶来装这一个深度有多少的起点（已经搜过的点内）。那么来到点i记下last，递归回溯之后再次到达点i，就可以利用桶，以及last与结论（w[i]+deep[i]==deep[s]）来ans[i]+=某一个深度的起点的数量即可。要注意一点，统计完答案之后，要把当前这一个点的动态数组中的点从桶中移走。目的就在于使用结论的条件是“如果起点在他的子树内，终点不在。”，故不能将他算在内，之前“将si加入到si与ti的LCA处。”的目的就在于此。

桶清空一下。

对于终点的状态，我们一样的来考虑即可但是最好移一下项，就是“deep[i]-w[i]==deep[t]-dis(s,t)”我们把深度deep[t]-dis(s,t)加入到que1[t]中，同事加入到que2[lca]中，每搜到一个点，就把这一个点的que1中的深度加入到桶中，统计了答案之后（查询“deep[i]-w[i]”来累计答案），在把这个点que2中的深度减去。

最后如果起点和终点的LCA就是起点或终点本身的话，在上面两种情况中，会被重复统计，最后在将所有的LCA的ans--就行了。利用“w[i]+deep[i]==deep[s]”，也就是if(deep[s]-deep[lca]==w[i])ans[lca]--;

© Attention：天天爱跑步的思想可以运用到很多题目中间，在推式子的时候，将与一个点有关的变量全部移动到等式的一边，就可以使用桶来统计答案了。

 

 1 #include<queue>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<vector>
 4 #include<cstring>
 5 #include<iostream>
 6 #include<algorithm>
 7 #define RG register
 8 #define LL long long
 9 #define push push_back
10 #define fre(a) freopen(a".in","r",stdin);//freopen(a".out","w",stdout);
11 using namespace std;
12 const int MAXN=1000000,eps=300000;
13 int n,m,num;
14 int w[MAXN],S[MAXN],T[MAXN],len[MAXN],tot[MAXN],CNT[MAXN];
15 int LCA[MAXN],Bu[MAXN],dep[MAXN],fa[MAXN][20],ans[MAXN];
16 int head[MAXN],to[MAXN],Next[MAXN];
17 vector<int>que1[MAXN],que2[MAXN],que3[MAXN];
18 void add(int f,int t)
19 {
20    Next[++num]=head[f];
21    to[num]=t;
22    head[f]=num;
23 }
24 void dfs1(int u,int FA)
25 {
26    for(int i=head[u];i;i=Next[i])
27       {
28      int v=to[i];
29      if(v==FA)continue;
30      fa[v][0]=u;
31      dep[v]=dep[u]+1;
32      dfs1(v,u);
33       }
34 }
35 void dfs2(int u,int FA)
36 {
37    int now=dep[u]+w[u],last=Bu[now];
38    for(int i=head[u];i;i=Next[i])
39       {
40      int v=to[i];
41      if(v==FA)continue;
42      dfs2(v,u);
43       }
44    Bu[dep[u]]+=CNT[u];
45    ans[u]=Bu[now]-last;
46    for(int i=0;i<que1[u].size();i++) Bu[dep[que1[u][i]]]--;
47 }
48 void dfs3(int u,int FA)
49 {
50    int now=dep[u]-w[u],last=Bu[now+eps];
51    for(int i=head[u];i;i=Next[i])
52       {
53      int v=to[i];
54      if(v==FA)continue;
55      dfs3(v,u);
56       }
57    for(int i=0;i<que2[u].size();i++) Bu[que2[u][i]+eps]++;
58    ans[u]+=Bu[now+eps]-last;
59    for(int i=0;i<que3[u].size();i++) Bu[que3[u][i]+eps]--;
60 }
61 int getlca(int x,int y)
62 {
63    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); int Val=dep[x]-dep[y];
64    for(int j=0;j<=19;j++) if(Val&(1<<j)) x=fa[x][j]; if(x==y)return x;
65    for(int j=19;j>=0;j--) if(fa[x][j]!=fa[y][j]) x=fa[x][j],y=fa[y][j];
66    return fa[x][0];
67 }
68 int main()
69 {
70    //fre("1");
71    scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1,a,b;i<n;i++) { scanf("%d%d",&a,&b); add(a,b); add(b,a); }
72    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
73    dep[1]=1; dfs1(1,0);
74    for(int j=1;j<=19;j++)
75       for(int i=1;i<=n;i++)
76      fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
77    for(int i=1;i<=m;i++)
78       {
79      scanf("%d%d",&S[i],&T[i]);
80      CNT[S[i]]++;//这一个点有多少个起点。
81      LCA[i]=getlca(S[i],T[i]);
82      len[i]=dep[S[i]]+dep[T[i]]-2*dep[LCA[i]];
83      que1[LCA[i]].push(S[i]);
84       }
85    dfs2(1,0);
86    memset(Bu,0,sizeof Bu);
87    for(int i=1;i<=m;i++)
88       {
89      que2[T[i]].push(dep[T[i]]-len[i]);
90      que3[LCA[i]].push(dep[T[i]]-len[i]);
91       }
92    dfs3(1,0);
93    for(int i=1;i<=m;i++)
94       if(dep[S[i]]-dep[LCA[i]]==w[LCA[i]])
95      ans[LCA[i]]--;
96    for(int i=1;i<=n;i++)
97       printf("%d ",ans[i]);
98    return 0;
99 }

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