学习笔记卢卡斯定理

Posted 2020-10-10 小时のblog

洛谷 P3807 【模板】卢卡斯定理

题目背景

这是一道模板题。

题目描述

给定n,m,p(1\\le n,m,p\\le 10^51≤n,m,p≤10​5​​)

求 C_{n+m}^{m}\\ mod\\ pC​n+m​m​​ mod p

保证P为prime

C表示组合数。

一个测试点内包含多组数据。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行一个整数T(T\\le 10T≤10)，表示数据组数

第二行开始共T行，每行三个数n m p，意义如上

 

输出格式：

 

共T行，每行一个整数表示答案。

 

输入输出样例

输入样例#1：

2
1 2 5
2 1 5

输出样例#1：

3
3

题解：求C（n,m）%p 有O(n^2)的解法，那么n,m非常大怎么办呢？？
卢卡斯定理就是解决组合数取模问题的，其中p必须是质数。
首先看公式....


对于Lucas(n/p,m/p,p)我们递归求解，当m/p==0时返回1

对于C(n%p,m%p)这怎么办呢？a/b%p=a*x%p,其中x为b在模p
意义下的逆元。x=b^(p-2)。
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 200001
#define LL long long
using namespace std;

LL n,m,p,T;
LL f[maxn];

LL ksm(LL a,LL b,LL p){
    LL ret=1%p;
    while(b){
        if(b&1)ret=ret*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

LL C(LL n,LL m,LL p){
    if(m>n)return 0;
    return f[n]*ksm(f[m]*f[n-m],p-2,p)%p;
}

LL Lucas(LL n,LL m,LL p){
    if(m==0)return 1;
    return     (C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p))%p;
}

int main(){
    scanf("%lld\\n",&T);
    while(T--){
      scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
      f[0]=1;
      for(int i=1;i<=p;i++)f[i]=(f[i-1]*i)%p;
      printf("%lld\\n",Lucas(n+m,m,p));
    }

}