P1040 加分二叉树 区间DP

Posted 2020-10-10 古时候的瘾君子

题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整 数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入输出格式

输入格式：

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出格式：

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入输出样例

输入样例#1：

5
5 7 1 2 10

输出样例#1：

145
3 1 2 4 5

---

一开始我根本没有想到这是区间DP，以为这是一道树形DP，结果无法知道怎么正确来进行遍历，因此陷入死胡同。
后来看了两眼题解，知道是区间DP后，自己写了一个三维DP，但是因为范围问题没法的出正解，于是参考了沈队长的代码。
这题中，我主要学到了：
1，如果一个算法实在想不出，要转换思维
2，写出来的DP方程要确保正确
3，复习中序遍历和前序遍历

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define ll long long
#define il inline
#define db double

#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))

using namespace std;

ll f[45][45];//记录l到r范围最大分值

void dfs(int l,int r)
{
	if(l==r)
		{
			printf("%d ",l);//到底了
			return;
		}
	if(f[l][r]==f[l][l]+f[l+1][r])//l只有右儿子
		{
			printf("%d ",l);
			dfs(l+1,r);
			return;
		}
	if(f[l][r]==f[r][r]+f[l][r-1])//r只有左儿子
		{
			printf("%d ",r);
			dfs(l,r-1);
			return;
		}
	for(int k=l+1;k<r;k++)//枚举当前根节点
		{
			if(f[l][k-1]*f[k+1][r]+f[k][k]==f[l][r])//判定成功
				{
					printf("%d ",k);//前序遍历
					dfs(l,k-1);
					dfs(k+1,r);
					return;
				}
		}
}

int main()
{
	freopen("13.in","r",stdin);
	
	int n;
	cin>>n;

	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			f[i][j]=1;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&f[i][i]);

	for(int i=n;i>=1;i--)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			for(int k=i;k<=j;k++)
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k]);

	printf("%lld\n",f[1][n]);//得到最大的答案

	dfs(1,n);

	return 0;
}