[BZOJ 4403]序列统计

Posted 2020-10-09 NaVi_Awson

Description

给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对10^6+3取模的结果。

Input

输入第一行包含一个整数T，表示数据组数。

第2到第T+1行每行包含三个整数N、L和R，N、L和R的意义如题所述。

1≤N,L,R≤10^9，1≤T≤100，输入数据保证L≤R。

Output

输出包含T行，每行有一个数字，表示你所求出的答案对10^6+3取模的结果。

Sample Input

2
1 4 5
2 4 5

Sample Output

2
5
//【样例说明】满足条件的2个序列为[4]和[5]。

题解

记得做过这样一道题：[Luogu 3902]Increasing

里面的思想就是将严格递增的序列第$i$个数减去$i$变成单调不下降的序列，来方便处理答案。

这里我们用相同的思想。由于原序列单调不下降，我们可以让第$i$个数加上一个$i$，使原序列单调递增。

这样取值范围就变成了$[L+1, R+n]$，一共$n+R-L$个数，这样对于长度为$n$的序列我们只要求$C^n _{n+R-L}$ = $C^{R-L} _{n+R-L}$。

然而到这里还没结束，题目要求的是长度为$[1, n]$。

简而言之就是求：

$$\\sum _{i=1} ^n {C^{R-L} _{i+R-L}}$$

我们这里要想到这样一个公式：$C^m _n = C^{m-1} _{n-1}+C^m _{n-1}$，

我们再看上面这个式子，令$k = R-L$：

$ans=C_{1+k}^k+C_{2+k}^k+C_{3+k}^k+…+C_{n+k}^k$

　　$=C_{1+k}^{1+k}-1+C_{1+k}^k+C_{2+k}^k+C_{3+k}^k+…+C_{n+k}^k$

　　$=(C_{1+k}^{1+k}+C_{1+k}^k)+C_{2+k}^k+C_{3+k}^k+…+C_{n+k}^k-1$

　　$=(C_{2+k}^{1+k}+C_{2+k}^k)+C_{3+k}^k+…+C_{n+k}^k-1$

　　$=(C_{3+k}^{1+k}+C_{3+k}^k)+…+C_{n+k}^k-1$

　　$……$

　　$=C_{n+k+1}^{k+1}-1$。

求$C_{n+k+1}^{k+1}$用$Lucas$求就可以了。

 1 //It is made by Awson on 2017.10.7
 2 #include <map>
 3 #include <set>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <vector>
 9 #include <cstdio>
10 #include <string>
11 #include <cstdlib>
12 #include <cstring>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #define LL long long
16 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
17 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
18 using namespace std;
19 const int N = 1e6+3;
20 
21 int n, l, r;
22 int A[N+5], B[N+5];
23 
24 int C(int n, int m) {
25     if (m > n) return 0;
26     return (LL)A[n]*B[n-m]%N*B[m]%N;
27 }
28 int Lucas(int n, int m) {
29     if (!m) return 1;
30     return (LL)C(n%N, m%N)*Lucas(n/N, m/N)%N;
31 }
32 void work() {
33     scanf("%d%d%d", &n, &l, &r);
34     printf("%d\\n", (Lucas(n+r-l+1, r-l+1)-1+N)%N);
35 }
36 int main() {
37     A[0] = B[0] = A[1] = B[1] = 1;
38     for (int i = 2; i <= N; i++)
39         B[i] = -(LL)(N/i)*B[N%i]%N;
40     for (int i = 2; i <= N; i++)
41         A[i] = (LL)A[i-1]*i%N,
42         B[i] = (LL)B[i-1]*B[i]%N;
43     int t;
44     scanf("%d", &t);
45     while (t--)
46         work();
47     return 0;
48 }