NOIP2016 愤怒的小鸟

Posted 2020-10-09 日拱一卒 功不唐捐

https://www.luogu.org/problem/show?pid=2831

题目描述

Kiana最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于(0,0)处，每次Kiana可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如y=ax^2+bxy=ax?2??+bx的曲线，其中a,b是Kiana指定的参数，且必须满足a<0。

当小鸟落回地面(即x轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有n只绿色的小猪，其中第i只小猪所在的坐标为(xi,yi)。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了(xi,yi),那么第i只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过(xi,yi)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第i只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于(1,3)和(3,3)，Kiana可以选择发射一只飞行轨迹为y=-x^2+4xy=−x?2??+4x的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对Kiana来说都很难，所以Kiana还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有T个关卡，现在Kiana想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含一个正整数T，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这T个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数n,m，分别表示该关卡中的小猪数量和Kiana输入的神秘指令类型。接下来的n行中，第i行包含两个正实数(xi,yi)，表示第i只小猪坐标为(xi,yi)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果m=0，表示Kiana输入了一个没有任何作用的指令。

如果m=1，则这个关卡将会满足：至多用\left \lceil \frac{n}{3} + 1 \right \rceil⌈?3??n??+1⌉只小鸟即可消灭所有小猪。

如果m=2,则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor⌊?3??n??⌋只小猪。

保证1<=n<=18，0<=m<=2，0<xi,yi<10，输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中，符号\left \lceil x \right \rceil⌈x⌉和\left \lfloor x \right \rfloor⌊x⌋分别表示对c向上取整和向下取整

 

输出格式：

 

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量

 

输入输出样例

输入样例#1：

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

输出样例#1：

1
1

输入样例#2：

3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00

输出样例#2：

2
2
3

输入样例#3：

1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99

输出样例#3：

6

说明

【样例解释1】

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与【问题描述】中的情形相同，2只小猪分别位于（1.00,3.00)和 (3.00,3.00)，只需发射一只飞行轨迹为y = -x^2 + 4x的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有5只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 y = -x^2 + 6x上，故Kiana只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

【数据范围】

 

dp[i]表示消灭状态为i的猪需要小鸟的最少数量

预处理任意两头猪构成的抛物线能消灭哪些猪

对于每一个状态枚举两头还没有被消灭的猪转移

特殊处理只打一头猪

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
double x[20],y[20];
double fa[20][20],fb[20][20];
int dp[262145],hit[20][20];
int bit[19],n;
const double eps=1e-8;
bool equal(double a,double b)
{
    return fabs(a-b)<eps;
}
double f(double a,double b,double x)
{
    return a*x*x+b*x;
}
void solve(int i,int j)
{
    double X1=x[i]*x[i]*x[j],Y1=y[i]*x[j];
    double X2=x[j]*x[j]*x[i],Y2=y[j]*x[i];
    fa[i][j]=(Y1-Y2)/(X1-X2);
    if(fa[i][j]>=0) return;
    fb[i][j]=(y[i]-fa[i][j]*x[i]*x[i])/x[i];
    for(int k=1;k<=n;k++)
        if(equal(f(fa[i][j],fb[i][j],x[k]),y[k])) hit[i][j]|=bit[k-1]; 
}
int main()
{
    int T,m;
    bit[0]=1; for(int i=1;i<=18;i++) bit[i]=bit[i-1]<<1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        memset(dp,127,sizeof(dp));
        memset(hit,0,sizeof(hit));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++) hit[i][n+1]=bit[i-1];
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
        for(int i=1;i<n;i++)
            for(int j=i+1;j<=n;j++) 
             solve(i,j); 
        int S=1<<n;
        dp[0]=0;
        for(int i=0;i<S;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(!(i&bit[j-1]))
                    for(int k=j+1;k<=n+1;k++)
                        if(!(i&bit[k-1]) && hit[j][k])
                            dp[i|hit[j][k]]=min(dp[i]+1,dp[i|hit[j][k]]);
        printf("%d\n",dp[S-1]);
    }
}