P3928 SAC E#1 - 一道简单题 Sequence2

Posted 2020-10-09 Z-Y-Y-S

题目背景

小强和阿米巴是好朋友。

题目描述

小强喜欢数列。有一天，他心血来潮，写下了三个长度均为n的数列。

阿米巴也很喜欢数列。但是他只喜欢其中一种，波动数列。

阿米巴把他的喜好告诉了小强。小强便打算找出这三个数列内的最长波动数列。

也就是说，如果我们将三个数列记做a[n][3]，他必须要构造一个二元组序列：<p[i], q[i]>，使得对于任何 i>1 有：

p[i] > p[i-1]

若q[i] = 0，a[p[i]][q[i]] >= a[p[i-1]][q[i-1]]

若q[i] = 1，a[p[i]][q[i]] <= a[p[i-1]][q[i-1]]

若q[i] = 2，只要保持段内同向即可（就是对于连续的一段q[i]=2，要么都有a[p[i]][q[i]] >= a[p[i-1]][q[i-1]]，要么都有a[p[i]][q[i]] <= a[p[i-1]][q[i-1]]）。

小强希望这个二元组序列尽可能长。

提示：当q[i] != q[i-1]时，数列的增减性由q[i]而非q[i-1]决定。

清晰版题目描述

小强拿到一个3×n的数组，要在每一列选一个数（或者不选），满足以下条件：

1.如果在第一行选，那它必须大于等于上一个数

2.如果在第二行选，那么必须小于等于上一个数

3.如果在第三行选，对于连续的一段在第三行选的数，必须满足方向相同（都小于等于上一个数或者都大于等于上一个数）

输入输出格式

输入格式：

输入包含4行。

第一行一个数n，表示数列长度。

第2、3、4行，每行n个整数，分别表示三个数列。

输出格式：

输出仅包含一个整数，即最长波动数列的长度。

输入输出样例

输入样例#1：

6
1 2 3 6 5 4
5 4 3 7 8 9
1 2 3 6 5 4

输出样例#1：

6

说明

对于20%的数据，n <= 10， m <= 1000

对于60%的数据，n <= 1000, m <= 1000

对于100%的数据， n <= 100000， m <= 1000000000

其中m = max|a[i]|

样例解释：

取第三行1 2 3（增），然后取第1行6（增），然后取第三行5 4（减），长度为6。

我们考虑dp

f[i][1]表示第i位，选第1行

f[i][2]表示选第2行

f[i][3/4]表示第i位，选第3行，比上一个大/小

满足条件下：

f[i][1]=max(f[j][1~4])

f[i][2]=max(f[j][1~4])

f[i][3]=max(f[j][1,2,3])

f[i][4]=max(f[j][1,2,4])

这样时间复杂度为n^2

用线段树优化至nlogn

把所有a值离散，对应于4颗线段树

转移就变成了区间查询最大值，单点修改

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 int c[3200001][5],n,sz,a[200001][5],b[1000001],num;
 7 int f[200001][5],s1,s2,s3,s4,ans;
 8 void pushup(int rt,int p)
 9 {
10     c[rt][p]=max(c[rt*2][p],c[rt*2+1][p]);
11 }
12 int query(int rt,int l,int r,int L,int R,int p)
13 {
14     if (l>=L&&r<=R)
15     {
16         return c[rt][p];
17     }
18     int mid=(l+r)/2,s=0;
19     if (L<=mid) s=max(s,query(rt*2,l,mid,L,R,p));
20     if (R>mid) s=max(s,query(rt*2+1,mid+1,r,L,R,p));
21     return s;
22 }
23 void update(int rt,int l,int r,int x,int d,int p)
24 {
25     if (l==r)
26     {
27         c[rt][p]=d;
28         return;
29     }
30     int mid=(l+r)/2;
31     if (x<=mid) update(rt*2,l,mid,x,d,p);
32     else update(rt*2+1,mid+1,r,x,d,p);
33     pushup(rt,p);
34 }
35 int main()
36 {
37     int i,j;
38     cin>>n;
39     for (j=1; j<=3; j++)
40     {
41         for (i=1; i<=n; i++)
42         {
43             scanf("%d",&a[i][j]);
44             num++;
45             b[num]=a[i][j];
46         }
47     }
48     sort(b+1,b+num+1);
49     sz=unique(b+1,b+num+1)-(b+1);
50     for (j=1; j<=3; j++)
51     {
52         for (i=1; i<=n; i++)
53             a[i][j]=lower_bound(b+1,b+sz+1,a[i][j])-b;
54     }
55     for (i=1; i<=n; i++)
56         a[i][4]=a[i][3];
57     for (i=1; i<=n; i++)
58     {
59         s1=query(1,1,sz,1,a[i][1],1);
60         s2=query(1,1,sz,1,a[i][1],2);
61         s3=query(1,1,sz,1,a[i][1],3);
62         s4=query(1,1,sz,1,a[i][1],4);
63         f[i][1]=max(f[i][1],1+max(s1,max(s2,max(s3,s4))));
64 
65         s1=query(1,1,sz,a[i][2],sz,1);
66         s2=query(1,1,sz,a[i][2],sz,2);
67         s3=query(1,1,sz,a[i][2],sz,3);
68         s4=query(1,1,sz,a[i][2],sz,4);
69         f[i][2]=max(f[i][2],1+max(s1,max(s2,max(s3,s4))));
70 
71         s1=query(1,1,sz,1,a[i][3],1);
72         s2=query(1,1,sz,1,a[i][3],2);
73         s3=query(1,1,sz,1,a[i][3],3);
74         f[i][3]=max(f[i][3],1+max(s1,max(s2,s3)));
75 
76         s1=query(1,1,sz,a[i][4],sz,1);
77         s2=query(1,1,sz,a[i][4],sz,2);
78         s4=query(1,1,sz,a[i][4],sz,4);
79         f[i][4]=max(f[i][4],1+max(s1,max(s2,s4)));
80 
81         update(1,1,sz,a[i][1],f[i][1],1);
82         update(1,1,sz,a[i][2],f[i][2],2);
83         update(1,1,sz,a[i][3],f[i][3],3);
84         update(1,1,sz,a[i][4],f[i][4],4);
85         ans=max(ans,max(f[i][1],max(f[i][2],max(f[i][3],f[i][4]))));
86     }
87     cout<<ans;
88 }