数论--康托展开
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数论--康托展开相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
先声明，是康托，不是康娜，hhh
在我们做题中，搜索也好，动态规划也好，我们往往有时候需要用一个数字表示一种状态
比如有8个灯泡排成一排，如果你用0和1表示灯泡的发光情况
那么一排灯泡就可以转换为一个二进制数字了
比如
01100110 = 102
11110000 = 240
10101010 = 170
通过这些十进制数，只要把他们展开，我们就知道灯泡的状态了
步入正题：
康托展开就是用一个数代表一串数，把这个数展开为这串数
而康托逆展开就是把一串数转换为它对应的一个数
比如：
123 -> 0
132 -> 1
213 -> 2
231 -> 3
312 -> 4
321 -> 5
从左到右就是康托逆展开，从右到左就是康托展开
那么，应该如何做到呢？？
例如序列：1，2，3，4。改变次序后为3,4,2,1（也可以是其他的序列），康托展开告诉我们每种序列都对应着独一无二的一个数字。
引入一个数组，a[m]: 其中m代表着该序列的第m位（也就是序列下标啦），a[m]则代表从第m位到最后一位，第m位上的数是排第几小的（从1开始，1排第0...）
比如3,4,2,1: a[0]=2(a[o]代表3在3,4,2,1中排第几小），a[1]=2(a[1]代表4在4,2,1中排第几小），a[2]=1(a[1]代表2在2,1中排第几小），a[3]=1(a[1]代表1在1中排第几小）
此时X（3,4,2,1）=a[0]*(4-1)!+a[1]*(4-2)!+a[2]*(4-3)!+a3*(4-4)!=17 （这一步能理解吗？全排列问题）
显然X（1,2,3,4）=0
那么反向思考一下：如果已知序列号，如何求出对应的序列？
a[0]=17/3！=2......5
a[1]=5/2!=2......1
a[2]=1/1!=1......0
a[3]=0/0!=0
1,2,3,4中排第2的是3
1,2,4中排第2的是4
1,2中排第1的是2
1中排第0的是1
所以序列号17对应的序列就是3,4,2,1.
贴上代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 typedef long long LL; 4 5 LL fac[1010]; 6 7 8 void cantor(int s[], LL num, int k){//康托展开，把一个数字num展开成一个数组s，k是数组长度 9 int t; 10 bool h[k];//0到k-1，表示是否出现过 11 memset(h, 0, sizeof(h)); 12 for(int i = 0; i < k; i ++){ 13 t = num / fac[k-i-1]; 14 num = num % fac[k-i-1]; 15 for(int j = 0, pos = 0; ; j ++, pos ++){ 16 if(h[pos]) j --; 17 if(j == t){ 18 h[pos] = true; 19 s[i] = pos + 1; 20 break; 21 } 22 } 23 } 24 } 25 void inv_cantor(int s[], LL &num, int k){//康托逆展开，把一个数组s换算成一个数字num 26 int cnt; 27 num = 0; 28 for(int i = 0; i < k; i ++){ 29 cnt = 0; 30 for(int j = i + 1; j < k; j ++){ 31 if(s[i] > s[j]) cnt ++;//判断几个数小于它 32 } 33 num += fac[k-i-1] * cnt; 34 } 35 } 36 37 int main() 38 { 39 fac[0] = 1; 40 for(int i = 1; i <20 ; i ++) 41 fac[i] = fac[i-1] * i; 42 int a[20]; 43 a[0]=3;//数组从0开始，元素值从1开始 44 a[1]=4; 45 a[2]=2; 46 a[3]=1; 47 LL ans; 48 inv_cantor(a,ans,4); 49 printf("%lld\\n",ans); 50 int b[20]; 51 cantor(b,4,17); 52 for(int i=0;i<4;i++) 53 printf("%d ",b[i]); 54 }
康托展开经典题：hdu 1430
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1430
直接上代码，解释在注释中：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<string> 4 #include<queue> 5 #include<iostream> 6 #include<algorithm> 7 using namespace std; 8 9 typedef long long LL; 10 11 LL fac[1010]; 12 int vis[50000]; 13 string ans[50000];//记录下到下标最近的走法 14 15 struct node 16 { 17 string ans; 18 int s[10]; 19 LL status; 20 }; 21 22 void cantor(int s[], LL num, int k){//康托展开，把一个数字num展开成一个数组s，k是数组长度 23 int t; 24 bool h[k];//0到k-1，表示是否出现过 25 memset(h, 0, sizeof(h)); 26 for(int i = 0; i < k; i ++){ 27 t = num / fac[k-i-1]; 28 num = num % fac[k-i-1]; 29 for(int j = 0, pos = 0; ; j ++, pos ++){ 30 if(h[pos]) j --; 31 if(j == t){ 32 h[pos] = true; 33 s[i] = pos + 1; 34 break; 35 } 36 } 37 } 38 } 39 void inv_cantor(int s[], LL &num, int k){//康托逆展开，把一个数组s换算成一个数字num 40 int cnt; 41 num = 0; 42 for(int i = 0; i < k; i ++){ 43 cnt = 0; 44 for(int j = i + 1; j < k; j ++){ 45 if(s[i] > s[j]) cnt ++;//判断几个数小于它 46 } 47 num += fac[k-i-1] * cnt; 48 } 49 } 50 51 void bfs() 52 { 53 memset(vis,0,sizeof(vis)); 54 queue<node>q; 55 node f,next; 56 for(int i=0;i<8;i++) 57 f.s[i]=i+1;//最初状态 58 f.ans=""; 59 inv_cantor(f.s,f.status,8); 60 vis[f.status]=1; 61 q.push(f); 62 while(!q.empty()) 63 { 64 f=q.front(); 65 q.pop(); 66 next=f;//第一种变换 67 swap(next.s[0],next.s[7]); 68 swap(next.s[1],next.s[6]); 69 swap(next.s[2],next.s[5]); 70 swap(next.s[3],next.s[4]); 71 inv_cantor(next.s,next.status,8);// 康托逆展开，将next.s序列对应的序列号存在status里面 72 if(vis[next.status]==0)//若未访问 73 { 74 next.ans+=\'A\';//进行了一次A变换 75 vis[next.status]=1; //标记为访问 76 q.push(next); 77 ans[next.status]=next.ans;//序列号为next.status对应的答案 78 } 79 80 next=f;//第二种变换 81 swap(next.s[3],next.s[2]); 82 swap(next.s[2],next.s[1]); 83 swap(next.s[1],next.s[0]); 84 swap(next.s[4],next.s[5]); 85 swap(next.s[5],next.s[6]); 86 swap(next.s[6],next.s[7]); 87 inv_cantor(next.s,next.status,8); 88 if (vis[next.status]==0) 89 { 90 next.ans+=\'B\'; 91 vis[next.status]=1; 92 q.push(next); 93 ans[next.status]=next.ans; 94 } 95 96 next=f; //第三种变换 97 swap(next.s[1],next.s[6]); 98 swap(next.s[6],next.s[5]); 99 swap(next.s[5],next.s[2]); 100 inv_cantor(next.s,next.status,8); 101 if (vis[next.status]==0) 102 { 103 next.ans+=\'C\'; 104 vis[next.status]=1; 105 q.push(next); 106 ans[next.status]=next.ans; 107 108 } 109 } 110 } 111 112 int main() 113 { 114 fac[0] = 1; 115 for(int i = 1; i <20 ; i ++) 116 fac[i] = fac[i-1] * i; 117 bfs(); 118 119 string as,bs; 120 while(cin>>as>>bs) 121 { 122 int a[10]; 123 for(int i=0;i<8;i++) 124 a[i]=as[i]-\'0\'; 125 int b[10]; 126 for(int i=0;i<8;i++) 127 b[i]=bs[i]-\'0\'; 128 for(int i=0;i<8;i++)//把a数组看为{1,2,3,4,5,6,7,8}b数组跟着变化 129 { 130 for(int j=0;j<8;j++) 131 { 132 if(b[i]==a[j]) 133 { 134 b[i]=j+1; 135 break; 136 } 137 } 138 } 139 LL res; 140 inv_cantor(b,res,8);//b数组的序列号为res 141 cout<<ans[res]<<endl; //直接输出序列号为res对应的答案即可 142 } 143 144 }
注意，用c++提交错误的话请换g++提交
以上是关于数论--康托展开的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章