HDU-2086 A1 = ?

Posted 2020-10-09

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 题目

Problem Description

有如下方程：A_i = ( A_i-1 + A_i+1 ) / 2 - C_i( i = 1, 2, 3, ..., n ).
若给出A₀, A_n+1和 C₁, C₂, ..., C_n。
请编程计算A₁ = ？

 

Input

输入包括多个测试实例。
对于每个实例，首先是一个正整数n( n <= 3000 )；然后是2个数a₀, a_n+1；接下来的n行每行有一个数c_i( i = 1, ...., n )；输入以文件结束符结束。

 

Output

对于每个测试实例，用一行输出所求得的a₁（保留2位小数）。

 

Sample Input

1
50.00 25.00 10.00
2
50.00 25.00 10.00 20.00

 

Sample Output

27.50
15.00

 

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题解

　　本题完全是一道数学题……推论过程如下：

　　下证A₁ = ( nA₀ + A_n+1 - 2( nC₁ + ( n - 1 )C₂ + ( n - 2 )C₃ + ... + C_n ) ) / ( n + 1 )：

　　由题中条件
　　A_i = ( A_i-1 + A_i+1 ) / 2 - C_i

 

　　化简得
　　2A_i = A_i-1 + A_i+1 - 2C_i

 

　　即
　　A₁ + A₁ =  A₀ + A₂ - 2C₁
　　A₂ + A₂ =  A₁ + A₃ - 2C₂
　　A₃ + A₃ =  A₂ + A₄ - 2C₃
　　...
　　A_n + A_n = A_n-1 + A_n+1 - 2C_n

 

　　左右求和错位相消得
　　A₁ + A_n =  A₀ + A_n+1 - 2( ∑_( i = 1 )^n [C_i] )

 

　　即
　　A₁ + A₁ =  A₀ + A₂ - 2( C₁ )
　　A₁ + A₂ =  A₀ + A₃ - 2( C₁ + C₂ )
　　A₁ + A₃ =  A₀ + A₄ - 2( C₁ + C₂ + C₃ )
　　...
　　A₁ + A_n =  A₀ + A_n+1 - 2( C₁ + C₂+ C₃ + ... + C_n )

 

　　左右求和错位相消得
　　( n + 1 )A₁ = nA₀ + A_n+1 - 2( ∑_( i = 1 )^n [( n - i + 1 )C_i] )
　　即
　　( n + 1 )A₁ = nA₀ + A_n+1 - 2( nC₁ + ( n - 1 )C₂ + ( n - 2 )C₃ + ... + C_n )

 

　　求得
　　A₁ = ( nA₀ + A_n+1 - 2( nC₁ + ( n - 1 )C₂ + ( n - 2 )C₃ + ... + C_n ) ) / ( n + 1 )

 

　　证毕！

　　然后用程序计算得出答案即可。 

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代码

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int n;
double a_0,a_n;
double c[5005];
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        scanf("%lf%lf",&a_0,&a_n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf",&c[i]);
        double ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans=ans+(n-i+1)*c[i];
        ans=(n*a_0+a_n-2*ans)/(n+1);
        printf("%.2lf\n",ans);
    }
    return 0;
}