51nod 1486 大大走格子——dp

Posted 2020-10-09 友人A

有一个h行w列的棋盘，里面有一些格子是不能走的，现在要求从左上角走到右下角的方案数。

Input

单组测试数据。
第一行有三个整数h, w, n(1 ≤ h, w ≤ 10^5, 1 ≤ n ≤ 2000)，表示棋盘的行和列，还有不能走的格子的数目。
接下来n行描述格子，第i行有两个整数ri, ci (1 ≤ ri ≤ h, 1 ≤ ci ≤ w)，表示格子所在的行和列。
输入保证起点和终点不会有不能走的格子。

Output

输出答案对1000000007取余的结果。

Input示例

3 4 2
2 2
2 3

Output示例

2
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这道题如果单纯的在图上dp肯定会T嘛 因为n m 都是1e5的级别
那么我们可以考虑每一个不能走的格子 f[i]表示走到这个点不经过别的点的方案数
f[i]=c(x[i]+y[i]-2,x[i]-1)-sigma f[j]*c(x[i]-x[]j+y[i]-y[j],x[i]-x[j])
至于为什么要这么算呢 我们可以用总的路径减去不合法的路径 而每一条不合法的路径
就是先到一个点然后后面乱走嘛 这样就可以保证不算重了2333

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
const int M=1e6+7,mod=1e9+7,N=1e5+7;
int read(){
    int ans=0,f=1,c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘) f=-1; c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){ans=ans*10+(c-‘0‘); c=getchar();}
    return ans*f;
}
int n,m,p;
struct pos{int x,y;}q[M];
bool cmp(pos a,pos b){return a.x!=b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;}
LL w[2*N],inv[2*N];
LL pmod(LL a,LL b){
    LL ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        b>>=1; a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}
void prepare(){
    int mx=n+m;
    w[0]=1; for(int i=1;i<=mx;i++) w[i]=w[i-1]*i%mod;
    inv[mx]=pmod(w[mx],mod-2);
    for(int i=mx;i;i--) inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
}
LL C(int n,int m){return w[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
LL f[M],ans;
int main(){
    //freopen("gg.cpp","r",stdin); 
    n=read(); m=read();
    p=read(); prepare();
    for(int i=1;i<=p;i++) q[i].x=read(),q[i].y=read();
    std::sort(q+1,q+1+p,cmp);
    for(int i=1;i<=p;i++){
        f[i]=C(q[i].x+q[i].y-2,q[i].x-1);
        for(int j=1;j<i;j++)
        f[i]=(f[i]-f[j]*C(q[i].x-q[j].x+q[i].y-q[j].y,q[i].x-q[j].x)%mod+mod)%mod;
    }
    ans=C(n+m-2,n-1);
    for(int i=1;i<=p;i++) ans=(ans-f[i]*C(n-q[i].x+m-q[i].y,n-q[i].x)%mod+mod)%mod;
    printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}

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