线性动力学变分原理基础

Posted 2020-10-09 huangzc

线性动力学变分原理基础

线弹性动力学的控制方程（位移法，要得到的是位移分量的表达式$u=u(x,y,z,t),v=v(x,y,z,t),w=w(x,y,z,t)$）

运动方程            $\sigma _{ij,j}+\bar{f_i}=\rho \ddot u_i$

应变-位移关系     $\epsilon_{ij}=\frac{1}{2} (u_{i,j}+u_{j,i})$

应力-应变关系    $\sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon_{kl}$

边界条件            $\sigma _{ij}n_j=\bar{T_i}$

                        $u_i=\bar{u_i}$

初始条件           $u_i | _{t=0}=\bar{u}_i^0$

                      $\dot{u}_i | _{t=0}=\dot{\bar{u}}_i^0$

 

精确解：在域内任一点任一时刻满足运动方程，在力边界上任一点任一时刻满足力边界条件，（位移法，位移边界条件自动满足）

近似解：加权余量法

 

加权余量法

 近似解不能精确满足运动方程和力边界条件，存在余量$R_i(x,y,z,t),\bar{R_i}(x,y,z,t)$

$R_i=\sigma _{ij,j}+\bar{f_i}-\rho \ddot u_i \not=0$

$\bar{R_i}=\sigma _{ij}n_j-\bar{T_i} \not=0$